Существует ли строго возрастающая функция $% f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $%, все значения которой трансцендентны?

задан 2 Авг '18 16:28

ну по идее она должна существовать
транцедентных же континиуум
значит там есть биекция
а там как-нибудь можно переобозначить
чтобы строго возрастала

(2 Авг '18 21:05) Williams Wol...

я правда не уверен, что можно легально переобозначать бесконечные множества

(2 Авг '18 22:37) Williams Wol...

@Williams Wol..., если слово "трансцендентны" в условии заменить на слово "иррациональны", то ответ на задачу будет положительным.

(2 Авг '18 23:59) Казвертеночка
1

А вы знаете решение?

(3 Авг '18 0:14) Williams Wol...

@Williams Wol..., пример привести могу, но он не мой. Не знаю, будет ли это честно.

(3 Авг '18 1:32) Казвертеночка
2

@Williams Wol..., @falcao, Ну, так и быть, приведу не мой пример:

Пусть дробная часть числа $%x$% имеет вид $%0.x_1x_2x_3x_4x_5x_6\dots$% (если число десятично-рациональное, то рассматриваем запись с бесконечным числом нулей). Тогда целая часть $%f(x)$% равна целой части $%x,$% а дробная часть $%f(x)$% равна $%0.x_19x_299x_3999x_49999x_599999x_6999999\dots\ .$%

(3 Авг '18 15:52) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: я с самого начала рассматривал задачу для трансцендентных чисел как равносильную задаче для иррациональных. Правда, конструкции для отображения R в R \ Q придумать не смог. Сам пример весьма красивый. У меня если и были идеи, то на уровне применения леммы Цорна.

Свести одно к другому довольно легко, так как все счётные плотные подмножества в R порядково изоморфны. Отсюда выводится существование непрерывной возрастающей биекции R на R, отображающей Q на любое множество того же типа (в частности, на R \ A, где A -- множество алгебраических чисел.

(3 Авг '18 21:19) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я думаю, что если немного изменить приведенную в комментарии идею, то биекция получится.

Теорема Лиувилля утверждает, что если $%z\in\mathbb{R}$% таково, что для любого $%n$% найдется рациональное такое число $%p/q$%, что $$ \left | z-\frac{p}{q} \right |<\frac{1}{q^{n+1}}, $$ то $%z$% трансцендентно.

Пусть в десятичной системе исчисления $%x=[x],x_1x_2x_3\dots$%, тогда определим $%f(x)$% как $$ f(x)=[x]+\sum_{i\in\mathbb{N}} \frac{x_i}{10^{1+i!}}. $$

Тогда рациональные числа вида $$ \alpha_m=[x]+\sum_{i=1}^{m} \frac{x_i}{10^{1+i!}} $$ приближают $%f(x)$% достаточно хорошо, чтобы воспользоваться теоремой Лиувилля.

Остается заметить, что если $%x<y$%, то $%f(x)<f(y)$%.

ссылка

отвечен 3 Авг '18 17:07

изменен 3 Авг '18 17:10

@Sunbro, большое спасибо!

(4 Авг '18 15:41) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,128
×591
×54
×5
×4

задан
2 Авг '18 16:28

показан
226 раз

обновлен
4 Авг '18 15:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru