Найти все конечно порожденные абелевы группы такие, что каждая собственная подгруппа циклична.

задан 3 Авг 18:45

10|600 символов нужно символов осталось
1

Понятно, что все циклические подгруппы подходят. Пусть группа не циклична. Мы знаем, что к.п. абелева группа изоморфна прямому произведению циклических. Допустим, что среди прямых множителей встречается Z. Тогда в ней можно выбрать собственную подгруппу 2Z. Она изоморфна Z, и тогда собственная подгруппа 2Z x ... будет изоморфна самой группе, которая не циклична. Значит, рассматривать достаточно только конечные абелевы группы.

Рассмотрим примарное разложение. Найдётся такое простое p, для которого p-компонента не циклична. Если в ней более двух сомножителей, то можно оставить два, получая не циклическую собственную подгруппу. Далее, если есть ещё какая-нибудь примарная q-компонента, то её можно отбросить, получая не циклическую собственную подгруппу.

Таким образом, произведение имеет вид Z(p^k) x Z(p^m). Если k > 1, то в Z(p^k) есть собственная подгруппа Z(p), замена на которую даёт не циклическую подгруппу. То же самое, если m > 1. Итого получается Z(p) x Z(p). В такой группе собственная подгруппа имеет порядок 1 или p, то есть она циклична. Это даёт полное описание.

ссылка

отвечен 3 Авг 21:13

"Найдётся такое простое p, для которого p-компонента не циклична"

Как такое возможно? Ведь по определению каждая компонента имеет вид $%C_{p^i}$%, т.е. циклична.

(3 Авг 21:22) Slater

@Slater: вот типовой пример примарного разложения: Z(2)xZ(2) x Z(27) x Z(25)xZ(5)xZ(5). Оно для каждой конечной абелевой группы единственно. Примарные компоненты могут быть как циклическими, так и нет.

(3 Авг 22:19) falcao

Хм, это идет вразрез с моими представлении о примарном разложении

https://en.wikipedia.org/wiki/Finitely_generated_abelian_group#Primary_decomposition

The primary decomposition formulation states that every finitely generated abelian group G is isomorphic to a direct sum of primary cyclic groups and infinite cyclic groups.

https://en.wikipedia.org/wiki/Primary_cyclic_group

a primary cyclic group is a group that is both a cyclic group and a p-primary group for some prime number p.

(3 Авг 22:30) Slater
1

@Slater: никакого противоречия нет. Пример, который я привёл -- это произведение примарных циклических групп. Никто ведь не говорит, что для данного p такой сомножитель должен быть всего один. Возьмите хотя бы случай Z(2)xZ(2).

(3 Авг 22:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,779

задан
3 Авг 18:45

показан
50 раз

обновлен
7 Авг 6:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru