1. Пусть $%\alpha\in \mathbb C$% таков, что $%\alpha^2$% алгебраичен над $%\mathbb Q$%. Доказать, что $%\alpha $% алгебраичен над $%\mathbb Q$%.
  2. Пусть $%\alpha,\beta\in \mathbb C$%, причем $%\alpha$% трансцендентен над $%\mathbb Q$%. Доказать, что $%\alpha-\beta$% или $%\alpha\beta$% трансцендентен.

задан 3 Авг 21:15

Первое совсем очевидно: многочлен от a^2 является многочленом от a.

Второе: если a-b, ab алгебраичны, то они являются корнями квадратного уравнения с алгебраическими коэффициентами. Далее можно сослаться на то, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто. Можно вместо этого рассмотреть расширение Q при помощи присоединения коэффициентов многочленов с корнями a-b и ab. Оно имеет конечную степень над Q. Присоединение самих a, b даёт расширение степени <=2. Тогда степени a,b над Q конечны.

(3 Авг 22:27) falcao

Почему они являются корнями именно квадратного уравнения? Под алгебраическими коэффициентами в данном случае имеются в виду рациональные? И как ссылание на алгебраическую замкнутость помогает?

(3 Авг 22:45) Slater

@Slater: для ответа на первый вопрос вспомните теорему Виета.

Слово "алгебраическое число" без атрибутов означает алгебраическое над Q.

Поле A алгебраических чисел алгебраически замкнуто => многочлены с коэффициентами из A раскладываются на линейные множители над A (ср. с полем C). Значит, a и -b как корни квадратного уравнения t^2-(a-b)t-ab над A принадлежат A.

(4 Авг 0:33) falcao

Ничего не понял. Теорема Виета связывает коэфф. квадратного уравнения с его корнями. Мы же предполагаем, что a-b, ab алгебраичны, т.е. являются корнями многочленов с рац. коэфф. При чем тут Виет? Как он отвечает на вопрос, почему a-b и ab являются корнями именно квадратных уравнений? Потом еще откуда-то взялся многочлен t^2-(a-b)t-ab с корнями a и -b. Но при чем тут а и -b, если мы говорим об алгебраичности a-b и ab?

(7 Авг 5:54) Slater

math.hashcode.ru/questions/134185/

(Но это не снимает вопросов выше...)

(7 Авг 6:37) Slater

@Slater: а, так это ещё и повтор! По ссылке всё объяснено более чем детально. Здесь я имел в виду то же самое. Числа a-b, ab -- любые алгебраические, но из теоремы Виета следует, что a,-b -- корни квадратного уравнения c коэффициентами -(a-b), -ab. Там у меня местоимение "они" относится к a,b.

(7 Авг 9:38) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,631

задан
3 Авг 21:15

показан
37 раз

обновлен
7 Авг 9:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru