Пусть $%D$% - область главных идеалов и $%IJ=I\cap J$% для некоторых идеалов. Доказать, что $%D=I+J$%

задан 3 Авг 21:39

изменен 3 Авг 22:55

У меня было ощущение, что я этот вопрос задавал, но найти не смог. Сейчас нашел

math.hashcode.ru/questions/134186/

(7 Авг 6:17) Slater

@Slater: интересно, что я тоже забыл, причём не только ссылку, но даже сам факт задавания вопроса. И рассуждение, думая в очередной раз, придумал уже несколько иное :)

(7 Авг 8:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%I=(a)$%, $%J=(b)$% и $%I+J=(d)$%. Тогда $%IJ = (ab)$%. Т.к. $%I,J\subseteq I+J$%, то $%a=dq_1$% и $%b=dq_2$% для некоторых $%q_1,q_2\in D$%.

Значит $$dq_1q_2\in I\cap J = IJ=(ab)=(d^2q_1q_2).$$ Т.е. $%dq_1q_2=d^2q_1q_2\cdot q$% для некоторого $%q\in D$%, значит $%dq=1$% и $%(d)=(1)$%.

ссылка

отвечен 3 Авг 23:50

Почему $%dq_1q_2\in I\cap J$%?

(4 Авг 0:21) Slater
1

@Slater: этот элемент делится и на a, и на b.

(4 Авг 0:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим I=(a), J=(b). Тогда IJ=(ab).

Пусть c=au+bv есть порождающий главного идеала I+J. Этому идеалу принадлежат a и b, и можно положить a=cx, b=cy. Имеем равенства a=aux+bvx, b=auy+bvy, откуда a(1-ux)=bvx, b(1-vy)=auy. Оба эти элемента принадлежат пересечению I n J, которое равно (ab). Значит, 1-ux делится на b, vx делится на a, 1-vy делится на a, uy делится на b. + Полагаем 1=ux+bs, 1=vy+at. Домножим первое равенство на y, второе на x. Получится, что y делится на b, и x делится на a. Значит, 1=ux+bs принадлежит I+J, то есть этот идеал совпадает со всем кольцом.

ссылка

отвечен 4 Авг 0:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,769

задан
3 Авг 21:39

показан
94 раза

обновлен
7 Авг 8:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru