-6

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ «ПОЛНОГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ»
Ведерников Сергей Иванович – пенсионер.

Теорема: для целого натурального числа n > 2 уравнение $$X^n + Y^n = Z^n$$ не имеет решений в целых положительных числах X, Y, Z. Доказательство. Имеется $$X^n+Y^n=Z^n$$, где X, Y, Z, n – натуральные положительные числа. Z > X > Y – взаимно простые числа, n > 2. Используя исходное уравнение, произведём разложение на множители по формуле разности квадратов, исходя из посыла, что чётное число, имеющее множителем 2^n, при n > 2, можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел. Известно, что Z в исходном уравнении при чётном n не может быть чётным числом, а X и Y одновременно нечётными, поэтому примем Z, X - нечётными числами, а Y – чётным числом. (Доказательство невозможности чётного Z при нечётном n см. Случай 3 «Доказательства Великой теоремы Ферма методом деления», в дальнейшем «Доказательства…») [2] Имеем: $$X^n + Y^n = Z^n$$. (1) Возведём левую и правую части формулы в квадрат. $$X^2n + 2∙X^n∙Y^n + Y^2n = Z^2n.$$ Преобразуем полученную формулу следующим образом: $$Z^2n-X^2n = Y^2n + 2∙X^n∙Y^n = Y^n∙(Y^n+2∙X^n ).$$ (2) Разложим ф. (2) на множители. $$Z^n + Y^n = Y^n + 2∙X^n; (3)$$ $$Z^n – X^n = Y^n. (4)$$ (Следует заметить, что ф. (3) можно получить, прибавив 2∙X^n к левой и правой частям формулы (4).) В соответствии с ф. ф. (4) и (5) (Случай 1 «Доказательства…») множители $$Y^n$$ и $$(Y^n + 2∙X^n)$$ формулы (2) не могут иметь общих множителей, кроме одного числа 2, исходя из условия о взаимно простых X, Y, Z . Рассмотрим всё же этот момент отдельно. Запишем ф. (3) и ф. (4) следующим образом: $$Z^n+X^n=2∙(2^{n-1}∙Y_1^n+X^n );$$
$$Z^n-X^n = 2^n∙Y_1^n.$$
Примем условно $$2^{n-1}∙Y_1^n+X^n=Y_2^n,$$ где $$Y_2^n$$ целое нечётное число в степени n.
Итак: $$Z^n+X^n=2∙Y_2^n; (5)$$ $$Z^n-X^n=2^n∙Y_1^n. (6)$$
Из почленного сложения ф. (5) и ф. (6) имеем: $$2∙Z^n=2∙Y_2^n+2^n∙Y_1^n$$ или $$Z^n=2∙(Y_2^n+2^{n-1}∙Y_1^n)/2 ;$$ $$Z^n=Y_2^n+2^{n-1}∙Y_1^n. (7)$$ Из почленного вычитания ф. (6) из ф. (5) имеем: $$2∙X^n=2∙Y_2^n-2^n∙Y_1^n$$ или $$X^n=2∙(Y_2^n-2^{n-1}∙Y_1^n )/2;$$ $$X^n=Y_2^n-2^{n-1}∙Y_1^n. (8)$$ Из ф. ф. (7) и (8) видно, что условия о взаимной простоте Z и X выполнимо только при отсутствии общих множителей в числах $$Y_2^n$$ и $$2^{n-1}∙Y_1^n,$$ поскольку такие же множители имели бы $$X^n$$ и $$Z^n.$$ Поэтому множители этих чисел должны быть в степени n. (См. ф. (6) и ф.(7) ссылка [2].) Рассмотрим этот момент на примере разложения на множители пифагоровой тройки (5; 12; 13), где Z = 13, X = 5, Y = 12. Как показано в Случае 1 «Доказательства…» сумма и разность двух нечётных чисел, числа чётные, но одно из них имеет множителем только одно число 2, а другое – минимум $$2^2,$$ в общем же случае $$2^{n-1}$$ при n>2. Разложение формулы $$Z^n-X^n=Y^n$$ при чётном n выглядит так:
$$Z^{n/2}-X^{n/2}=Y^m$$ и $$Z^{n/2}+X^{n/2} = Y^{n-m}.$$ Для разности квадратов пифагоровой тройки 5; 12; 13 разложение такое. Имеется: $$X^2+Y^2=Z^2↔5^2+12^2=13^2. (1а)$$ Преобразуем ф. (1а). $$Z^2-X^2=Y^2↔13^2-5^2=12^2. (2a)$$ Разложим на множители ф. (2а). $$Z + X = 2∙Y_1^2↔ 13 + 5 = 18; (3a)$$ $$Z – X = 2^{2-1}∙Y_2^2=2∙Y_2^2↔13-5=8. (4a)$$ Число 18 ф. (3а) содержит только одно число 2, а число 8 ф. (4а) имеет вид $$2^3.$$ Следовательно, весь чётный сомножитель числа $$12^2=144$$ составляет $$2^4=2^2∙2^2=4^2=16.$$ Т. е. одно число 4 разделено пополам между числом 18 и числом 8. Поделив 18 и 8 на 2, имеем $$9=3^2$$ и $$4 = 2^2.$$ Это значит, что вторыми множителями чисел 18 и 8, кроме числа 2, являются квадраты чисел. Причём это свойство всех пифагоровых троек. Рассмотрим ф. (3) как аналог ф. (5). $$Z^n+X^n=Y^n+2∙X^n; (3)$$ $$ Z^n+X^n=2∙Y_2^n. (5)$$ Нами условно принято, что $$Y_2^n$$ является n – ой степенью целого нечётного числа. На анализе ф. (3а) и ф. (4а) разложения пифагоровой тройки (5, 12, 13) можно заключить, что сомножитель правой части ф. (2) $$2∙Y_2^n$$ имеет в некоторых случаях, как и в уравнении $$X^2+Y^2=Z^n,$$ целочисленные значения $$Y_2.$$ Следовательно делаем вывод, что уравнение $$X^n+Y^n=Z^n$$ может иметь целочисленные решения. Однако перемножим левые и правые части ф. ф. (5) и (6). $$Z^2n – X^2n = 2∙Y_2^n∙ Y^n = 2∙(Y_2^n∙Y^n). (9)$$ Примем чётное, имеющее множителем $$2^n,$$ где n≥3, число $$Y_2^n∙Y^n$$ как $$Y_3^n.$$ А любое чётное число, имеющее множитель $$2^n$$ при n > 2 , можно представить разностью квадратов двух нечётных чисел. Запишем ф. (9) следующим образом: $$Z^2n – X^2n = 2∙Y_3^n. (10)$$ Поскольку числа $$Y^2n$$ и $$X^2n$$ являются квадратами чисел $$Z^n$$ и $$X^n,$$ то в левой части имеется разность квадратов нечётных чисел, а в правой – результат, который должен раскладываться на целые множители в соответствии с левой частью. Выразим число $$Y_3^n$$ разностью квадратов чисел A и B. $$Y_3^n = A^2 – B^2.$$ Запишем ф. (10) следующим образом: $$Z^{2n} – X^{2n} = 2∙(A^2 – B^2) = (2∙A^2 – 2∙B^2). (11)$$ Разложим на множители левую и правую части ф. (11). $$(Z^n – X^n)(Z^n + X^n) ≠ (√2∙A - √2∙B)(√2∙A+√2∙B). (12)$$ Как видно из ф. (12) целочисленные значения её левой части не соответствуют результатам разложения правой части, поскольку правую часть ф. (11) невозможно разложить на целочисленные множители. Отсюда следует, что уравнение $$X^n + Y^n = Z^n$$ не имеет решения в целых числах. Рассмотрим ф. (6) и ф. (7) Случай 1 « Доказательства Великой теоремы Ферма методом деления», которые удовлетворяют разложению на множители разности квадратов двух чисел при n кратном 4 для иллюстрации Общего случая. [2] $$Z^n – X^n = Y^n.$$ $$Y^n$$ – чётное.
$$Z^{n/2} + X^{n/2} = 2∙Y_1^n; (6а)$$ $$Y_1^n$$ - нечётное. $$Z^{n/2} – X^{n/2} = 2^{n-1}∙Y_2^n. (7а)$$ При этом нужно заметить, что разложение на множители формулы $$Z^2 – X^2 = Y^2,$$ соответствующее «пифагоровым тройкам», где $$Y^2$$ чётное число, даёт результатом один множитель, содержащий только одно число 2, а другой множитель кратен числу 8. Любопытно однако, что чётное число этих троек кратно именно числу 4. Преобразуем правую часть ф. (7а). Преобразуем $$2^{n-1}∙Y_2^n$$ следующим образом: $$2^{n-1}∙Y_2^n = (2^n∙Y_2^n)/2 = Y_3^n/2.$$ Выразим $$Y_3^n$$ разностью квадратов двух нечётных чисел. Пусть: $$Y_3^n = A^2 - B^2.$$ Тогда: $$Y_3^n/2 = (A^2 - B^2)/2 = A^2/2 - B^2/2. (13)$$ Разложим ф. (13) на множители. $$A^2/2 - B^2/2 = (A/√2 - B/√2)∙(A/√2 + B/√2). (14)$$
$$Z^{n/2} – X^{n/2} = (Z^{n/4} – X^{n/4})(Z^{n/4} + X^{n/4}) ≠ (A/√2 - B/√2)(A/√2 + B/√2), (14a)$$ Как видно из ф. (14) и ф. (14а) уравнение $$X^n + Y^n = Z^n$$ при чётном n, кратном 4, не имеет решения в целых числах. Для полной ясности с рассматриваемым случаем можно рассмотреть ф.(6a) и ф. (7a) во второй позиции, где сумма $$Z^{n/2} + X^{n/2} = 2^{n-1}∙Y_3^n,$$ а разность $$Z^{n/2} – X^{n/2} = 2∙Y_4^n. (15)$$ Разложим ф. (15) на множители при n, кратном 4. $$(Z^{n/4} – X^{n/4})(Z^{n/4} + X^{n/4}) ≠ 2∙Y_4^n. (15a)$$ Поскольку левая часть уравнения (15а) содержит множителем минимум число 8 , а правая только 2 при нечётном $$Y_4^n,$$ то и в этом случае уравнение $$X^n + Y^n = Z^n$$ не имеет целочисленных решений. Приведённое доказательство является приемлемым, для всех трёх случаев «Полного доказательства Великой теоремы Ферма методом деления». Список литературы / References 1. Сингх С. Великая теорема Ферма. М.:МЦНМО, 2000. \ 2. Ведерников С. И. Доказательство Великой теоремы Ферма методом деления. Журнал «Проблемы современной науки и образования» № 33 [115] 2017. Изд.: «Проблемы науки». 3. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: Учеб. Пособие. М. Высшая школа, 1984. © Ведерников С. И. 2018

задан 5 Авг 13:42

1

В формуле (3) опечатка: левая часть должна быть равна Z^n+X^n.

Я так понимаю, что число Y считается чётным, Y=2Y_1. Формула, идущая после слов "Примем условно" ниоткуда не следует. Почему вдруг это число должно быть n-й степенью целого?

(5 Авг 22:46) falcao

1.В формуле (3) действительно опечатка, ф. (3) должно выглядеть так: Z^n+X^n=Y^n+2X^n. 2.Всё верно, Y^n=2^nY_1^n или Y=2Y_1, причём Y_1 может быть чётным или нечётным числом. 3.Примем условно 2^(n-1)Y_1^n+X^n=Y_2^n, где Y_2^n - целое нечётное число в степени n. Автор исходит из понятия, что любое число в степени n можно выразить n - ой степенью другого положительного числа, пусть даже иррационального. Для доказательства важно, что целочисленные решения уравнение может иметь только при целых значениях Y_2. Это же относится к уравнению X^2+Y^2=Z^2. (См. ниже начиная с ф. (1а) и далее до ф. (9).

(6 Авг 19:49) gefestos
1

@gefestos: представить число в виде n-й степени можно всегда, но в тексте утверждается, что Y_2 является целым. А это требует доказательства.

(6 Авг 22:22) falcao

falcao: 1. пример n=2. Разложим на множители пифагорову тройку (5,12,13). Z^2-X^2=Y^2---13^2-5^2=12^2. (Z-X)(Z+X)=2^(2-1)Y_1^22Y_2^2--(13-5)(13+5)=(24)(29)=(22^2)(23^2). Итого три квадратных множителя: 2^2, 2^2, 3^2. Разложим на множители разность Z^2-X^2 при сочетании Z и X не относящихся к пифагоровым тройкам. Итак: Z=7, X=3. Z^2-X^2=Y^2(?)--7^2-3^2=410=(22)(25). В данном случае Y^2(?) имеет один множитель в степени 2, а другие целыми числами в степени 2 не являются. Разложение на множители (пифагоровы тройки) является лишь частью общего разложения на множители уравнения Z^2-X^2=Y^2.

(8 Авг 15:43) gefestos

falcao: 2.Таким образом, можно заключить, что разложение на множители уравнения Z^n-X^n=Y^n для каждого n>2 (Y^n чётное число) в отдельных случаях может состоять из целочисленных множителей Z в степени n. Рассмотрим формулу (5), где Y_2 целое, нечётное число может быть в степени n. Тогда Z^2n-X^2n= 2Y_2^n*Y^n=2Y_3^n, где Y_3 тоже целое нечётное число в степени n.

(8 Авг 16:05) gefestos
1

@gefestos: случай n=2 исследован в общем виде. Он обладает своей спецификой (там есть решения), и какие-то особенности, характерные для этого случая, переносить на общую ситуацию нельзя. Прежде чем рассматривать формулу (5), надо доказать, что число имеет указанный вид (удвоенная n-я степень целого). Причём не "в отдельных случаях", а в самой общей ситуации. Без доказательства все дальнейшие рассуждения силы не имеют.

(8 Авг 20:45) falcao

http://math.hashcode.ru/users/925/falcao Вряд ли уравнение X^2+Y^2=Z^2 выпадает из общего - Z^n+Y^n=Z^n. Математика - это не парфюмерия со своей спецификой. Разложение Z^1-X^2=Y^2 выглядит так же, как разложение Z^3-X^3=Y^3 и т. д. для n>2. (Cм. Доказательство ВТФ, метод деления, Раздел "Исследования", где результат неоспорим.) В данном же случае сделано предположение, что Y_3^n может иметь всеми своими множителями множители в степени n, поскольку в противном случае уравнение Z^2n-X^2n=2Y_3^n, тем самым и уравнение Z^n-X^n=Y^n, не имеет целочисленных решений.

(9 Авг 22:10) gefestos
1

@gefestos: вот именно что "предположение". Это и означает, что его нужно доказывать. в противном случае всё остальное будет иметь силу только "в предположении".

Математика -- не парфюмерия, конечно, и тем более, не "алхимия" :)

(9 Авг 22:43) falcao

http://math.hashcode.ru/users/925/falcao. Не надо передёргивать. СКАЗАНО: ПРЕДПОЛОЖИМ. И решение. Однако спасибо Вам, как первому модератору,кто по-человечески отнёсся к моим претензиям математика.

(10 Авг 20:52) gefestos

@gefestos: слово "передёргивать" тут неуместно. Разве я где-то туза достал из рукава? :) Есть обычные правила логического рассуждения. Они не запрещают в процессе рассуждения принимать любые предположения. Однако, если я принял предположение A и в его рамках доказал утверждение B, то этим я доказал импликацию A => B. Если моей целью являлось доказательство B, то требуется доказать A. Я тут ничего нового не ввожу.

(10 Авг 21:20) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,631

задан
5 Авг 13:42

показан
95 раз

обновлен
10 Авг 21:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru