Назовём натуральное число, большее 1, Тамариным, если каждый следующий его делитель больше предыдущего либо на 1, либо вдвое.

Верно ли, что любое Тамарино число является либо степенью двойки (с натуральным показателем), либо степенью двойки (с натуральным показателем), умноженной на следующее за ней число?

задан 6 Авг 13:24

10|600 символов нужно символов осталось
2

Докажем, что число Тамары, не являющееся степенью двойки, имеет вид $%2^m\cdot(2^m+1)$%, где $%2^m+1$% есть простое число.

Пусть $%\sigma_0(n)=k$% --- число делителей натурального числа $%n$% и

$$1=d_1 < d_2 < \cdots < d_{k-1} < d_k=n$$

все делители $%n$%, выписанные в порядке возрастания, причем ясно, что $%d_2=2$%.

Если для всех $%i$% мы имеем $%d_{i+1}=2\cdot d_i$%, то ясно, что $%n=2^{k-1}$%.

Пусть теперь $%j\geqslant2$% --- это первый (с лева) такой номер, такой что $%d_{j+1}=d_j+1$%. В силу выбора $%j$% мы имеем: $%d_j=2^m$% для некоторого $%m\in\mathbb{N}$%, а $%d_{j+1}=2^m+1$% есть простое число. Заметим теперь, что $%d_{k-j+1}=\frac{n}{d_j}$% и $%d_{k-j}=\frac{n}{d_j+1}$%.

Если $%d_{k-j+1}-d_{k-j}=1$%, то

$$1=\frac{n}{d_j}-\frac{n}{d_j+1}=n\cdot\frac{1}{d_j\cdot d_{j+1}},$$

т.е. $%n=d_j\cdot d_{j+1}=2^m\cdot(2^m+1).$%

Если $%d_{k-j+1}=2\cdot d_{k-j}$%, то

$$2=\frac{n}{d_j}\cdot \frac{d_{j+1}}{n}=\frac{d_{j+1}}{d_j},$$

т.е. $%d_j=1$% и $%d_{j+1}=2$%, что не может быть в силу выбора $%j$%.

ссылка

отвечен 6 Авг 17:59

изменен 6 Авг 18:06

@Sunbro, большое математическое спасибо!

(7 Авг 1:15) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

Приведу на всякий случай короткое доказательство основного факта.

Пусть $%n=2^kd$%, где $%d$% -- максимальный нечётный делитель. При $%d=1$% всё ясно. Пусть $%d > 1$%. Тогда перед $%d$% в списке делителей должно идти $%d-1$%. Из условия делимости $%d-1|n$% следует $%d-1|2^k$%, то есть $%d=2^s+1$%, где $%s\le k$%.

После делителя $%2^k$% не может идти удвоенное число, поэтому $%2^k+1|n$%, и тогда $%2^k+1|d=2^s+1$%. Тем самым, $%k\le s$%. Этим установлено, что $%k=s$%, то есть $%n=2^k(2^k+1)$%.

Простоту числа $%2^k+1$% можно установить дополнительно.

ссылка

отвечен 6 Авг 23:13

@falcao, и Вам большое математическое спасибо!

(7 Авг 1:16) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×762
×28

задан
6 Авг 13:24

показан
69 раз

обновлен
7 Авг 1:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru