Пусть $%A,B$% - Коммутирующие матрицы порядка 2 с хар. многочленами x^2-3x+2 и x^2-1 соотв. Доказать,что A+B или A-B имеет нулевой определитель.

У А с.з. 1,2; у В с.з. 1,-1. ЖНФы диагональные. Для каждой из матриц есть 2 варианта (из-за перестановки блоков). Всего возможно 4 пары ЖНФов. В каждом случае или А+В или А-В содержит нулевую строку.

А зачем условие на коммутирование?

задан 7 Авг 6:11

1

В каждом случае или $%А+В$% или $%А-В$% содержит нулевую строку.

Это не следует из Вашего анализа НЖФ, т.к. для такого утверждения Жордановы базисы должны быть согласованными (а не просто существовать).

(7 Авг 14:07) Sunbro
10|600 символов нужно символов осталось
2

Т.к. $%A^2=3A-2I_2$%, $%B^2=I_2$% и $%AB=BA$%, то $$ \mathrm{det}(A+B)\cdot \mathrm{det}(A-B)=\mathrm{det}\big((A+B)(A-B)\big)=\mathrm{det}\big(A^2-B^2\big)=9\cdot\mathrm{det}\big(A-I_2\big). $$ Пусть матрица $%C$% такова, что $%C^{-1}AC=D$%, где $%D=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\!.$%

Тогда $$ \mathrm{det}\big(A-I_2\big)=\mathrm{det}\big(C^{-1}DC-C^{-1}I_2C\big)=\mathrm{det}\big(C^{-1}(D-I_2)C\big)=\mathrm{det}\big(D-I_2\big)=0. $$

ссылка

отвечен 7 Авг 14:05

изменен 7 Авг 14:20

A^2-B^2=3A-3I_2. Откуда тогда множитель 9 (а не 3) в последнем равенстве первой цепочки?

(7 Авг 17:53) Slater
2

@Slater, а вы можете сначала подумать, а потом начинать строчить вопросы? Например, чему равен определитель квадратной матрицы с тройками на диагонали и с единицами?

(7 Авг 17:59) spades

Тогда понятно.

(7 Авг 18:04) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,032

задан
7 Авг 6:11

показан
117 раз

обновлен
7 Авг 18:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru