Пусть $%R$% - коммутативное кольцо с 1, $%m\subset R$% - макс. идеал, $%m\cdot m=0$%

  1. Доказать, что $%m$% - единственный максимальный идеал.
  2. Доказать, что $%f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0\in R[x], a_i\in m, a_0\ne 0$% неприводим

задан 8 Авг 0:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Пусть имеется другой максимальный идеал, которому принадлежит элемент $%x$% не из $%m$%. Тогда идеал $%(m,x)$% является единичным, и существует представление $%1=\mu+xr$%, где $%\mu\in m$%, $%r\in R$%. Домножая на произвольный элемент из $%m$%, мы получаем, что этот элемент пропорционален $%x$%. Тогда $%m\subseteq(x)$%, и идеал $%(x)$% оказывается единичным, вопреки предположению.

2) Здесь рассуждение аналогично тому, которое проводится в доказательстве критерия Эйзенштейна. Допустим, что многочлен можно представить в виде $%g(x)h(x)$% для унитарных многочленов ненулевой степени. В факторкольце $%R/m$%, которое является полем, многочлен равен $%x^n$%. Разложение на множители здесь может иметь вид только $%x^kx^{n-k}$% при некотором $%1\le k < n$%. Тем самым, образы $%g(x)$% и $%h(x)$% при индуцированном гомоморфизме $%R[x]\to(R/m)[x]$% имеют нулевые свободные члены. Это значит, что свободные члены у $%g(x)$% и $%h(x)$% принадлежат $%m$%. Тогда их произведение в $%R$% нулевое, однако оно равно $%a_0\ne0$% -- противоречие.

ссылка

отвечен 8 Авг 10:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,631

задан
8 Авг 0:53

показан
31 раз

обновлен
8 Авг 10:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru