Пусть $%R$% - коммутативное кольцо с 1, $%m\subset R$% - макс. идеал, $%m\cdot m=0$%

  1. Доказать, что $%m$% - единственный максимальный идеал.
  2. Доказать, что $%f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_0\in R[x], a_i\in m, a_0\ne 0$% неприводим

задан 8 Авг 0:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Пусть имеется другой максимальный идеал, которому принадлежит элемент $%x$% не из $%m$%. Тогда идеал $%(m,x)$% является единичным, и существует представление $%1=\mu+xr$%, где $%\mu\in m$%, $%r\in R$%. Домножая на произвольный элемент из $%m$%, мы получаем, что этот элемент пропорционален $%x$%. Тогда $%m\subseteq(x)$%, и идеал $%(x)$% оказывается единичным, вопреки предположению.

2) Здесь рассуждение аналогично тому, которое проводится в доказательстве критерия Эйзенштейна. Допустим, что многочлен можно представить в виде $%g(x)h(x)$% для унитарных многочленов ненулевой степени. В факторкольце $%R/m$%, которое является полем, многочлен равен $%x^n$%. Разложение на множители здесь может иметь вид только $%x^kx^{n-k}$% при некотором $%1\le k < n$%. Тем самым, образы $%g(x)$% и $%h(x)$% при индуцированном гомоморфизме $%R[x]\to(R/m)[x]$% имеют нулевые свободные члены. Это значит, что свободные члены у $%g(x)$% и $%h(x)$% принадлежат $%m$%. Тогда их произведение в $%R$% нулевое, однако оно равно $%a_0\ne0$% -- противоречие.

ссылка

отвечен 8 Авг 10:20

Как во втором пункте используется максимальность идеала? Как-то играет роль, что $%R/m$% - поле? (Или что просто область целостности?)

(19 Авг 20:12) Slater

@Slater: используется в самом начале, в силу определения. Присоединяется "чужой" элемент x, ввиду чего идеал (m,x) собственно содержит m, то есть является единичным.

(20 Авг 0:54) falcao

@falcao Это в первом пункте, но в моем комментарии речь про второй пункт.

(20 Авг 1:18) Slater

@Slater: во втором пункте явно используется, что R/m -- поле. Там ведь нужна факториальность кольца многочленов.

(20 Авг 1:21) falcao

То есть если бы идеал был лишь простым, то утверждение пункта 2 стало бы неверным (при условии что m^2=0 все равно по той или иной причине выполнялось бы)?

(20 Авг 1:26) Slater

@Slater: честно говоря, сходу не могу сказать. Я вижу то, при каких условиях работает доказательство. Если ослабить до простоты идеала, то непонятно, как обходится без факториальности. Возникает мысль о контрпримере, но вместе с mm=0 надо ещё догадываться, как он мог бы выглядеть.

(20 Авг 1:36) falcao

Казалось бы, в этом вопросе math.hashcode.ru/questions/157176/ доказательство практически такое же, только идеал предполагается лишь простым. Или доказательства чем-то отличаются?

(20 Авг 1:49) Slater

@Slater: видимо, всё проходит и для простого идеала. Суть в том, что целостное кольцо R/m вложимо в поле (частных), и тогда теория становится применимой.

(20 Авг 11:20) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,779

задан
8 Авг 0:53

показан
79 раз

обновлен
20 Авг 11:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru