Для всякого ли $%n\in\mathbb{N}$% существуют $%n$% попарно различных целых чисел, сумма которых является степенью (с натуральным показателем) каждого из них?

Для каждого из нечётных $%n\in\mathbb{N}$% пример строится легко.
А вот с чётными что-то не получается. Может, нельзя? Или это только мне трудно?

Наведите, пожалуйста, на мысль.

задан 9 Авг 0:30

@Sunbro а три числа -2, 2 и 4 почему не годятся?

(9 Авг 19:46) knop

Ну и дальше типа -4,-2, 2, 4 и 16.

(9 Авг 19:47) knop
1

@knop: так у Вас в примерах n нечётно, а @Sunbro рассмотрел случай n=2.

(9 Авг 20:57) falcao

@knop, Вы пишете: "а три числа -2, 2 и 4 почему не годятся? ... Ну и дальше типа -4,-2, 2, 4 и 16." ............ У меня тот же пример: https://dxdy.ru/topic128959-4.html

(9 Авг 23:22) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
2

Или я как-то неправильно понял условия или такого не бывает при $%n=2$%.

Пусть $%a+b=a^k$%, $%a+b=b^m$% и $% a < b.$%

Т.к. $%a < b$%, то $%k\geqslant2$%. Т.к. $%a^k=b^m$%, то $%a$% и $%b$% имеют одинаковый набор простых делителей. Значит, т.к. $%a < b $%, существует такое простое число $%p$%, что для некоторого натурального $%l\geqslant2$% выполнено: $%p^l$% делит $%b$%, $%p^l$% не делит $%a$% и $%p^{l-1}$% делит $%a$%. Т.к. $%k\geqslant2$%, то $%p^l$% делит $%a^k$%, значит $%p^l$% делит $%a=a^k-b$%. Противоречие.

ссылка

отвечен 9 Авг 1:42

изменен 9 Авг 1:43

@Sunbro, а при чётных, больших 2, бывает?

(9 Авг 10:41) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,021
×762
×38
×28
×4

задан
9 Авг 0:30

показан
84 раза

обновлен
9 Авг 23:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru