Пусть $%f$% непрерывна на $%(0,1]$% и $$\lim_{x\to 0+}\inf f(x)=a, \lim_{x\to 0+}\sup f(x)=b$$

Докажите, что для каждого $%t\in [a,b]$% существует $%\{x_n\in(0,1]:n=1,2,\dots\}$% т.ч. $$\lim_{n\to \infty}f(x_n)=t$$

задан 9 Авг 4:29

изменен 9 Авг 22:57

Условие непонятно, так как inf и sup всегда рассматриваются по некоторому множеству, которое здесь не указано.

(9 Авг 8:50) falcao
1

@falcao, предположу, что это верхний и нижний пределы...

(9 Авг 22:32) all_exist

@all_exist: я тоже подумал на liminf и limsup, но меня смутило условие непрерывности функции. Сейчас я обратил внимание, что непрерывность имеет место лишь на (0,1], а в нуле функция вообще не задана. Тогда эта версия становится очень правдоподобной.

Только там в условии t и c, вроде бы, должны обозначать одно и то же.

(9 Авг 22:40) falcao

Да, одно и то же, и видимо, да, верхний и нижний пределы. Только такие лимсупы при x->0+ для меня вновинку... Обычно попадались лимсупы как пределы подпоследовательностей.

(9 Авг 22:46) curl
10|600 символов нужно символов осталось
0

Тут всё получается из определений. Согласно понятию нижнего предела, имеется подпоследовательность положительных чисел, стремящаяся к нулю, для которой предел последовательности значений функции равен a. Аналогично для верхнего предела и для числа b.

Пусть теперь a < t < b. Заметим, что в условии надо добавить, что x(n) стремится к нулю -- в противном случае утверждение становится тривиальным (берём все x(n) одинаковыми, где f(x(n))=t). Здесь поступаем так. У нас есть последовательность y(n)->0, где f(y(n))->a, а также z(n)->0, где f(z(n))->b. Выбираем n1 такое, для которого f(y(n1)) < t. Аналогично выбираем n2 такое, что f(z(n2)) > t. Тогда на отрезке с концами y(n1) и z(n2) имеется точка x1, в которой значение функции равно t по причине непрерывности. Теперь выбираем аналогично n3 и n4, по которым строим x2 с тем же свойством. Чтобы x1, x2, ... стремилась к нулю, номера n1, n2, n3, n4, ... выбираем так, чтобы отрезки получались один левее другого, и они (в понятном смысле) "стремились" к нулю. Этого всегда можно добиться, так как левее любого положительного числа имеется бесконечно много членов последовательности, стремящейся к a, и аналогично для b.

ссылка

отвечен 10 Авг 11:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,672

задан
9 Авг 4:29

показан
70 раз

обновлен
10 Авг 11:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru