Если $%d$% - метрика, докажите, что $%d/(1+d)$% тоже метрика, причем семейства шаров в пространствах с обеими метриками совпадают.

задан 9 Авг 5:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

Неотрицательность и симметричность очевидны. Проверим неравенство треугольника. Положим $%a=d(x,y)$%, $%b=d(y,z)$%, $%c=d(x,z)$%. Поскольку $%d$% -- метрика, справедливо неравенство $%0\le c\le a+b$%.

Требуется доказать, что $%\frac{c}{c+1}\le\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}$%. Оно равносильно $%1-\frac1{c+1}\le2-\frac1{a+1}-\frac1{b+1}$%, то есть $%\frac1{a+1}+\frac1{b+1}\le1+\frac1{c+1}$%. Достаточно проверить, что $%\frac1{a+1}+\frac1{b+1}\le1+\frac1{a+b+1}$%.

Приводя к общему знаменателю, имеем $%\frac{a+b+2}{(a+1)(b+1)}\le\frac{a+b+2}{a+b+1}$%, и теперь всё следует из неравенства $%(a+1)(b+1)\ge a+b+1$%, которое равносильно $%ab\ge0$%.

ссылка

отвечен 9 Авг 9:08

А почему семейства шаров совпадают?

(9 Авг 22:22) curl

Неравенство d<=r равносильно d/(1+d)<=r/(1+r). Поэтому шар в исходной метрике будет шаром в новой метрике. Но надо иметь в виду, что новое расстояние всегда меньше 1, поэтому шар в новой метрике радиуса >=1 равен шару бесконечного радиуса в исходной метрике. С этой оговоркой, семейства шаров совпадают.

(9 Авг 22:37) falcao

Почему из d<=r следует d/(1+d)<=r/(1+r)? Если домножить d<=r на 1/(1+d), то получится d/(1+d)<=r/(1+d), но если бы последнее было <= r/(1+r), то r<=d.

И что именно разумеется под "совпадают" (про семейства шаров)?

(9 Авг 22:55) curl

@curl: когда речь идёт об элементарных неравенствах школьного уровня, надо уметь восстанавливать детали самостоятельно. От 1+d<=1+r переходим к обратным величинам: 1/(1+d)>=1/(1+r). Далее 1-1/(1+d)<=1-1/(1+r), а это и есть то, что нужно.

Совпадение семейства шаров означает, что шар в одной метрике является шаром в другой (возможно, при другом значении радиуса).

(9 Авг 22:59) falcao

Такой метод доказательства понятен, но почему другой (мой из комментария выше) ведет к противоречию?

Еще, полагаю, надо в дгурую сторону проговорить - если d/(1+d)<r, то d<r/(1-r).

А какой есть пример метрик, в одной из которых есть шар, который не является шаром в другой?

(9 Авг 23:08) curl

@curl: Ваш способ не ведёт к противоречию. Вы получаете в качестве следствия верное неравенство, но оно слишком слабое. Из него не следует то, которое здесь нужно.

Импликации, которые я привёл, являются равносильными преобразованиями -- проверьте. Я не стал даже это отмечать, потому что всё элементарно донельзя.

По поводу пример метрик: рассмотрим на плоскости норму ||(x,y)||=max(|x|,|y|). Ей соответствует метрика (норма разности векторов). Шары в этой метрике -- это квадраты в метрике обычной.

(9 Авг 23:20) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,673
×232

задан
9 Авг 5:11

показан
68 раз

обновлен
9 Авг 23:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru