Будем говорить, что подмножество X пространства R^n обладает свойством C, если любая последовательность с ровно одной предельной точкой в X сходится в X.

Найти пример подмножества X в некотором R^n, n>=1, не обладающего свойством С.

Доказать, что если Х в R^n обладает свойством С, то оно компактно.

задан 9 Авг 22:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

Достаточно доказать второе, так как примеров не компактных подмножеств имеется сколько угодно (можно взять всё R^n). Замкнутость понятна, так как в противном случае берём последовательность x(n) точек из X, сходящихся к точке замыкания вне X. Из неё легко строится последовательность x,x(1),x,x(2),... , где x -- фиксированная точка из X. У такой последовательности две предельных точки, и ровно одна принадлежит X. Сходимости при этом нет.

Ограниченность также очевидна, так как в противном случае можно взять x(n)->бесконечности, после чего рассмотреть тот же пример, вставляя x между членами предыдущей последовательности.

ссылка

отвечен 10 Авг 11:20

Если брать R и последовательность 0,1,0,2,0,3,... (видимо это пример к первому пункту), то почему 0 - предельная точка? Окрестность радиуса 1/2 не содержит точек последовательности кроме 0, но любая окрестность должна содержать.

(10 Авг 17:28) curl

@curl: надо иметь в виду, что есть понятие предельной точки множества, когда говорится о проколотых окрестностях, а есть понятие предельной точки последовательности. Фактически, это предел некоторой подпоследовательности. См. определения здесь.

(10 Авг 20:36) falcao

Какое именно определение по ссылке имеется в виду? Там есть такое: Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности (по-моему, это то же, что я написал, и это же и есть предельная точка множества элементов последовательности)

(10 Авг 20:53) curl

Или имеется в виду, что любая окрестность содержит бесконечно много членов последовательности, потому что члены x_1,x_3,x_5,... (которые все равны нулю) считаются различными?

(10 Авг 20:59) curl

@curl: да, имеется в виду именно это. Там в определении по ссылке рассматривается бесконечное множество номеров членов последовательности.

(10 Авг 21:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,595

задан
9 Авг 22:33

показан
37 раз

обновлен
10 Авг 21:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru