Сумма всех простых чисел, на которые делится натуральное число $%k$%, равна 11. Доказать, что сумма цифр числа $%k$% (в десятичной записи) не равна 11.

задан 10 Авг 2:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

Число должно быть степенью 11. Это легко проверяется: в противном случае есть меньшие простые делители, и среди них должно быть 7, так как 2+3+5 < 11. Но из первых трёх простых не набирается 4.

Осталось доказать, что степень 11 не может иметь сумму цифр, равную 11. По признаку делимости на 11, сумма цифр на чётных местах минус сумма цифр на нечётных местах делится на 11. Вместе эти две величины дают 11, и такое возможно только если на чётных справа местах находятся одни нули. Тогда количество цифр в записи числа нечётно. Легко проверяется (через умножение "столбиком"), что 11^k имеет k+1 цифру в записи. Значит, k чётно. Но тогда по модулю 9 мы имеем степень числа 4, а суммы цифр в этом случае могут быть сравнимы по модулю 9 только с 1, 4 и 7, но не с 2.

ссылка

отвечен 10 Авг 10:31

изменен 10 Авг 12:30

1

@falcao, все степени 11 - палиндромы?

(10 Авг 11:36) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: насчёт палиндромов -- это явная лажа с моей стороны. Сейчас надо будет исправить.

(10 Авг 11:42) falcao
1

@falcao, количество цифр 11^k в записи равно 1+ floor(k * lg(11)). Это явно не k+1. 11^25 уже 27 цифр будет

(10 Авг 13:05) spades
2

После того, как мы доказали, что одна из сумм цифр (на четных или нечетных местах) равна нулю, мы можем сделать так. Должно быть $%11^k=2\pmod{9}$%, следовательно нас интересуют только числа вида $%11^{6k+1}$%. Но $%11^{6k+1}\in\{11,31,51,71,91\}\pmod{100}$%.

(10 Авг 13:44) Sunbro
1

Я не вижу простого непереборного способа. Да, можно ограничиться $%11^{10k}$%, потому что остальные степени не заканчиваются на 01, - но дальше все равно гнилой перебор.

(10 Авг 13:45) knop
1

@spades: да, тут у меня произошла ещё одна неправильная экстраполяция -- как следствие первоначального ощущения, что задача слишком простая.

Аргумент @Sunbro при этом вполне работает.

(10 Авг 13:54) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×827
×170
×91
×87
×6

задан
10 Авг 2:12

показан
116 раз

обновлен
10 Авг 13:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru