|
Для каждого натурального числа умножим сумму его чётных делителей на сумму его нечётных делителей, получим последовательность: 0 2 0 6 0 32 ... а) Доказать, что в этой последовательности никогда не встретится квадрат, больший нуля. б) Можно ли в этой последовательности встретить куб, больший нуля? задан 10 Авг '18 11:41 
Казвертеночка |
|
Пусть $%n=2^ks$%, где $%s$% нечётно. Сумма всех делителей равна $%(1+2+\cdots+2^k)m$%, где $%m=\sigma(s)$% -- сумма нечётных делителей. Тогда сумма чётных делителей равна $%(2+\cdots+2^k)m$%. Произведение из условия равно $%(2+\cdots+2^k)m^2$%; при нечётном $%n$% это ноль. При $%k\ge1$% точный квадрат получается iff $%2+\cdots+2^k=2^{k+1}-2$% является точным квадратом. Но так быть не может, так как это число чётно и не делится на 4. Куб получить легко, находя нечётное $%m$%, для которого $%\sigma(m)$% имеет вид $%2^{k+1}-2\in\{2,6,14,30,...\}$%. Подходит $%m=13$%, чему соответствует $%n=104$%. Также годится $%m=29$%, $%n=464$%. Скорее всего, таких примеров бесконечно много. Это будет верно, если множество простых вида $%2^d-3$% бесконечно, что звучит правдоподобно. отвечен 10 Авг '18 12:16 
falcao @falcao, большое спасибо!
(10 Авг '18 15:10)
Казвертеночка
|
|
a) Пусть $%n$% имеет вид $%n=2^k\cdot m$%, где $%m$% нечетно. Каждому нечетному делителю $%d$% числа $%n$% поставим в соответствие $%k$% четных делителей: $%2\cdot d,\ \dots,\ 2^k\cdot d$%. Т.к. сумма последних равна $%2(2^k-1)d$%, то сумма всех нечетных делителей числа $%n$%, $%S_o$%, связана с суммой всех четных делителей, $%S_e$%, как $%S_e=2(2^k-1)S_o$%, т.е. рассматриваемая величина имеет вид $%2(2^k-1)S_o^2$% и не является квадратом (в факторизации этого числа показатель двойки нечетный). b) Для $%254=2\cdot127$% мы имеем $%(1+127)(2+254)=2^{15}$%. отвечен 10 Авг '18 12:12 
Sunbro @Sunbro, большое спасибо!
(10 Авг '18 15:10)
Казвертеночка
|