Пусть имеется четырёхугольник с шарнирными соединениями сторон между собою. Основание его равно 6. Другие стороны: 1) 3, 4 и 5 (5, 4 и 3); 2) 4, 3 и 5 (5, 3 и 4); 3) 4, 5 и 3 (3, 5 и 4). При некотором положении сторон дружка относительно дружки, каждый из трёх четырёхугольников имеет максимальную площадь. У какого из трёх четырёхугольников максимум площади наибольший? Существуют ли какие-то критерии определения максимальности площади четырёхугольника?

задан 16 Апр '13 9:37

изменен 16 Апр '13 18:23

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Порядок следования сторон не влияет на площадь. Допустим, у нас имеется выпуклый четырёхугольник $%ABCD$% с основанием $%AD$%. Отрежем от него треугольник $%ABC$%, а потом приставим его к $%AC$% с разворотом. При этом порядок следования длин изменится -- например, с $%3,4,5$% на $%4,3,5$%. Легко видеть, что при помощи таких действий можно получить любую из шести перестановок.

Максимум площади четырёхугольника с заданными длинами наблюдается у вписанного четырёхугольника. Эта задача встречается во многих сборниках. Сама максимальная площадь $%S$% может быть вычислена по формуле $$S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),$$ где $%p$% -- полупериметр. Для случая длин $%3,4,5,6$% имеем $%p=9$%, а площадь равна $%S=6\sqrt{10}$%.

ссылка

отвечен 16 Апр '13 12:13

Итак, чтобы четырёхугольник при заданных: a,b,c,d - имел максимальную площадь, должно выполняться условие: ac + bd = ef, где: e и f - диагонали четырёхугольника. Так?

(16 Апр '13 15:02) nikolaykruzh...

Это один из критериев вписанности четырёхугольника. С равным успехом можно было бы говорить о том, что суммы противоположных углов равны 180 градусам. Некоторая проблема состоит в том, что когда нам даны только длины, мы не знаем ни диагоналей, ни углов. Поэтому здесь некоторый интерес может представлять построение вписанного четырёхугольника по заданным длинам сторон, но эта задача так или иначе известна.

(16 Апр '13 15:37) falcao

Если четырёхугольник не является вписанным (что наиболее вероятно!), то его площадь может быть найдена путём разбиения на треугольники, а нахождение экстремальности этой величины производится способами, выходящими за рамки элементарной математики. Одним словом, вопрос о критериях нахождения максимальности площади четырёхугольника остаётся - по крайней мере, для автора вопроса - сложным и почти неприкасаемым, хотя для математика это не проблема или, по крайней мере, - при необходимости - она не очень сложна. Функциональная зависимость площади от взаимного расположения сторон всё-таки не ясна.

(17 Апр '13 9:35) nikolaykruzh...

У Вас ведь в задаче даны длины сторон четырёхугольника, а не он сам. Вписанный чертырёхугольник с заданными длинами существует всегда, то есть при удачном вращении шарниров такой конфигурации можно достичь. И именно у него площадь будет максимально возможной. Порядок следования сторон никак не влияет: это доказывается очень простым рассуждением, которое я привёл.

(17 Апр '13 10:59) falcao

Та-а-ак??!! Если повращать шарниры, то четырёхугольник с любым набором длин сторон можно вписать в окружность? Зачем же тогда вписанные четырёхугольники выделяют в особую совокупность - как вписанные! А каковы же тогда не вписанные (которые в принципе невозможно вписать в окружность), что они собою представляют? Или таковых вообще не существует? "Любой плоский шарнирный четырёхугольник можно вписать в окружность" - такой теоремы я ещё не встречал, к сожалению. Удивительно!.. Значит формула максимальной площади с полупериметрами верна всегда и на все случаи жизни... Забрезжил свет. Спасибо!

(17 Апр '13 12:29) nikolaykruzh...

Да, всё именно так. Если Вам нужно доказательство, то я могу его привести. Как Вы понимаете, четырёхугольник не определяется длинами сторон, и среди таких фигур с заданными длинами и их порядком следования будет один вписанный и куча не вписанных. Просто начните со вписанного, и пусть он будет на шарнирах. Потом Вы его "сдавили", и он перестал быть вписанным. Типа, был прямоугольник, а из него сделали параллелограмм. Это разные четырёхугольники, и первый из них будет вписанным, а второй -- нет.

(17 Апр '13 12:36) falcao

Спасибо Вам. Доказательство приводить не след. Но из рассуждений явствует, что для всякого шарнирного плоского четырёхзвенника с заданными сторонами существует только одна окружность, в которую он может быть вписан. Таким образом, набор длин четырёх сторон (звеньев), максимальная площадь, охватываемая ими, и радиус описанной окружности есть нечто, функционально или логически связуемое... Одному заданному 4-звеннику соответствует одна окружность, однако заданной окружности соответствует множество 4-звенников, которые могут быть вписаны в неё.

(17 Апр '13 15:49) nikolaykruzh...
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,925

задан
16 Апр '13 9:37

показан
5912 раз

обновлен
17 Апр '13 15:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru