Решить в целых числах уравнение $$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{72}$$ Одно решение видно невооружённым глазом - все три неизвестные равны 8. Теперь надо либо доказывать, что других решений нет, либо искать эти самые решения. Как это сделать?

задан 13 Авг 14:18

2

Если обе части поделить на корень из двух, то можно сослаться на факт, что сумма корней рациональных чисел будет рациональной, если каждый корень рационален. А если нельзя, то для случая трех корней этот факт и доказать можно легко. Дальше выводится, что они и целы.
$%x=2k^2, \, y=2m^2, \, z=2n^2, \, k+m+n=6$%

(13 Авг 15:19) spades

@spades, Вы пишете: "...сумма корней рациональных чисел будет рациональной, если каждый корень рационален". Что Вы имели в виду под "если"? Необходимое условие? Или достаточное? Или сразу оба?

(13 Авг 23:22) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: я думаю, имелось в виду, что если числа свободны от квадратов, то корни из них линейно независимы. Когда корней всего два или три, это доказывается без труда.

(13 Авг 23:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Ну, ещё есть тройка тривиальных решений: (0, 0, 72), (0, 72, 0) и (72, 0, 0)

ссылка

отвечен 14 Авг 0:27

изменен 14 Авг 1:18

1

@ARRY: они входят в описание, данное @spades (k=6,m=n=0).

(14 Авг 9:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,027
×798

задан
13 Авг 14:18

показан
133 раза

обновлен
14 Авг 9:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru