Рассмотрим последовательность:

6 12 14 20 30 39 42 56 62 72 84 90 110 120 ...

Это последовательность натуральных чисел, представимых в виде $$n+n^2+\dots +n^k$$ , где $%n, k \geqslant 2$% - натуральные числа.

В этой последовательности встречаются два факториала: 6 и 120. А встретится ли в ней третий факториал?

задан 14 Авг '18 2:05

изменен 14 Авг '18 2:10

1

Сильно смахивает на открытый вопрос...

(14 Авг '18 9:29) falcao

@falcao, мне тоже так кажется...

(14 Авг '18 9:56) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если верна $%abc$%-гипотеза, то для произвольного заданного многочлена $%P(n)$% (степени не меньшей двойки) только конечное число решений будет иметь уравнение $%k!=P(n)$%. Это доказано в следующей статье Florian Luca. The diophantine equation P(x) = n! and a result of M. Overholt // Glasnik Matematički. — 2002. — Т. 37, вып. 57. — С. 269—273.

Задача, которую вы предлагаете, еще сложнее, ибо у вас целая серия многочленов.

ссылка

отвечен 14 Авг '18 11:27

@Witold2357, во-вторых, большое спасибо! А во-первых, мне на соседнем форуме написали, что ответ на задачу отрицательный:

https://dxdy.ru/topic129070.html

И как понять, кто из вас прав?

(14 Авг '18 11:33) Казвертеночка

@Казвертеночка: тут противоречия нет, потому что конечность числа решений согласуется с тем, что их может и не быть (для данного k). Кроме того, аргумент по ссылке не работает. Если n фиксировано, а факториал очень большой, то он, конечно, делится на большую степень n. Однако здесь мог получиться факториал какого-то небольшого относительно n числа. Представим себе, что часть множителей факториала сгруппировали и получилось n, а остальное дало, скажем, n^2+n+1 или n+1. Это особо ничему не противоречит.

(14 Авг '18 13:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,375
×114
×68
×33
×22

задан
14 Авг '18 2:05

показан
303 раза

обновлен
14 Авг '18 13:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru