Рассмотрим последовательность 56 88 96 104 128 ...

Это числа, которые делятся на число своих делителей, но не делятся на сумму своих десятичных цифр.

а) Докажите, что таких чисел бесконечно много.

б) Докажите, что среди таких чисел бесконечно много квадратов.

задан 16 Авг '18 11:35

изменен 16 Авг '18 11:36

1

А что означают слова "2008_год" и "весенний_тур"?

(16 Авг '18 12:41) knop

@knop, эти слова означают, что задача скоммунизжена (и затем совсем чуть-чуть переделана до полной неузнаваемости) с весеннего тура олимпиады 2008-го года нашей эры. Кстати, эта задача решается легче, чем та, что была на олимпиаде.

(16 Авг '18 16:09) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, а скажите же, с какой именно олимпиады, - ну чтоб я не дай бог не отправлял детей на такое...

(16 Авг '18 16:46) knop
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим простые числа вида $%p=18k+5$%. Их бесконечно много. (Конечно, для школьной задачи желательно избежать применения сложных теорем, но пусть уж пока будет так.) Возьмём число $%n=p^{p-1}$%. Ясно, что число делителей равно $%\tau(n)=p$%, то есть $%n$% на него делится.

Проверим, что при достаточно больших $%p$%, число $%n$% не делится на свою сумму десятичных цифр. Прежде всего, $%n=10^{(p-1)\lg p}$%, откуда сумма цифр не больше $%9((p-1)\lg p+1)$%, что меньше $%p^2$% при $%p\gg1$%. Остаётся показать, что сумма цифр числа $%n$% не равна $%p$%.

Заметим, что $%p\equiv5\pmod9$%, а показатель степени $%p-1$% сравним с $%4$% по модулю $%\varphi(9)=6$%. Тем самым, $%n\equiv5^4\equiv4\pmod9$%, что не сравнимо с $%p$% по модулю $%9$%, откуда следует, что сумма цифр не равна $%p$%.

P.S. Решение придумано в "полусомнамбулическом" состоянии, при неудачной попытке заснуть :) Поэтому оно, скорее всего, не лучшее.

ссылка

отвечен 16 Авг '18 16:47

@falcao, большое спасибо! Странно, обычно как раз в "полусомнамбулическом" состоянии приходят простые, но гениальные решения. В этой задаче всё на порядок проще. Клянусь Вам, она и впрямь под силу достаточно талантливым шестиклассникам!

(16 Авг '18 16:59) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,253
×21
×5
×2
×1

задан
16 Авг '18 11:35

показан
193 раза

обновлен
16 Авг '18 16:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru