|
Бесконечная последовательность вещественных чисел образована почленным сложением двух геометрических прогрессий. Может ли эта последовательность начинаться с таких чисел (именно в указанном порядке)? а) 1, 1, 7, 20; б 1, 2, 3, 5; в) 1, 2, 3, 4. задан 16 Авг '18 16:21 
Казвертеночка |
|
Я не знаю, есть ли здесь какое-то "умное" решение, но против лома нет приема. Пусть $%n$%-й член первой и второй геометрической прогрессии есть $%bq^{n-1}$% и $%cp^{n-1}$% соответственно. Тогда, например, во втором случае нас спрашивают имеет ли система $$ \left \{ \begin{align} b+c &=1 \\ bq+cp &=2 \\ bq^2+cp^2 &=3 \\ bq^3+cp^3 &=5 \end{align} \right. $$ решение относительно $%b$%, $%q$%, $%c$% и $%p$%. Спрашиваем об этом машину, оказывается, что эта система имеет два решения, одно из которых есть $$ b=\frac{1}{2}-\frac{3}{10}\sqrt{5},\ \ q=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5},\ \ c=\frac{1}{2}+\frac{3}{10}\sqrt{5},\ \ p=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}, $$ а другое понятно как получается из приведенного решения. Аналогично, для первой мы получаем: $$ b=\frac{1}{2}-\frac{1}{1730}\sqrt{865},\ \ q=\frac{13}{12}+\frac{1}{12}\sqrt{865},\ \ c=\frac{1}{2}+\frac{1}{1730}\sqrt{865},\ \ p=\frac{13}{12}-\frac{1}{12}\sqrt{865}, $$ Для третьей решений нет. отвечен 16 Авг '18 23:38 
Sunbro 1
@Казвертеночка, да, Вы правы, вероятно я что-то не так вбил. Я исправил текст ответа.
(17 Авг '18 0:26)
Sunbro
@Sunbro, для первой есть более простой вариант - чтобы все числа были рациональными :)
(17 Авг '18 1:04)
Казвертеночка
Вы уверены? Просто машина находит только приведенное и "зеркальное" ему решения.
(17 Авг '18 1:24)
Sunbro
@Sunbro, пардон, у меня ошибка. Ваше решение верно!
(17 Авг '18 2:02)
Казвертеночка
|
|
$$\left \{ \begin{align} x+y &=a, \\ xu+yv &=b, \\ xu^2+yv^2 &=c, \\ xu^3+yv^3 &=d. \end{align} \right.$$ Покажем, как решать такую систему. Умножим второе и третье уравнения на $%u+v$%: $$(xu+yv)(u+v)=xu^2+yv^2+(x+y)uv=c+auv=b(u+v),$$ $$(xu^2+yv^2)(u+v)=xu^3+yv^3+(xu+yv)uv=d+buv=c(u+v).$$ Получаем линейную систему уравнений относительно $%uv$% и $%u+v$%: $$\left \{ \begin{align} c+auv=b(u+v), \\ d+buv=c(u+v). \end{align} \right.$$ Далее находим $%u$% и $%v$%, составляя квадратное уравнение. Неизвестные $%x$% и $%y$% находим из первых двух уравнений исходной системы. Понятно, что решений в первых двух уравнениях исходной системы может и не быть. отвечен 17 Авг '18 23:52 
EdwardTurJ @EdwardTurJ, большое спасибо!
(18 Авг '18 1:10)
Казвертеночка
|
|
До кучи ещё вариант, навеянный формулой Бине... Если последовательность имеет вид $$ x_n = ap^{n-1}+bq^{n-1}, $$ то она должна быть представима рекуррентной формулой $$ x_{n+1} = \alpha x_n + \beta x_{n-1}. $$ Тогда сначала решаем СЛУ $$ \begin{cases} x_3 = \alpha x_2 + \beta x_1 \\ x_4 = \alpha x_3 + \beta x_2 \end{cases}, $$ откуда находим $%\alpha$% и $%\beta$%... Знаменатели прогрессий $%p$% и $%q$% являются решениями квадратного уравнения $%\lambda^2 = \alpha \lambda + \beta$% ... И, наконец, находим $%a$% и $%b$% как решение СЛУ $$ \begin{cases} x_1 = a+b \\ x_2 = ap+bq \end{cases}, $$ ну, и смотрим - будут ли эти коэффициенты положительными... отвечен 18 Авг '18 2:32 
all_exist @all_exist, большое спасибо!
(18 Авг '18 11:31)
Казвертеночка
@all_exist: а зачем положительность коэффициентов? Там нужна вещественность.
(18 Авг '18 21:04)
falcao
@falcao, а зачем положительность коэффициентов? Там нужна вещественность. - вещественность само собой... но в условии требуется сумма двух прогрессий...
(18 Авг '18 21:29)
all_exist
@all_exist: это так, но никто ведь не мешает складывать, например, 5*3^n и -2^n.
(18 Авг '18 21:48)
falcao
|
Тут неплохо смотрелся бы ещё пункт с мнимыми корнями. Мне поначалу показалось, что в а) это так, но я считал устно и ошибся. Этот свой ответ я даже написал, но "боги" заметили ошибку, и отключили Интернет на какое-то время :) Так он и не был отправлен.