|
Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди натуральных чисел, не превосходящих 100, так, чтобы ни сумма, ни произведение никаких двух различных выбранных чисел не делились на 100? задан 27 Авг '18 11:50 
Казвертеночка |
|
Возьмём числа от 1 до 49, исключая 20, 30, 40, 25. Это даёт пример 45 чисел: сумма любых двух меньше 100, а если произведение ab делится на 100, то оба числа a, b кратны 5, так как чисел, делящихся на 25, не было взято. Тогда хотя бы одно из чисел чётно, и можно считать, что a делится на 10. Значит, a=10. Но тогда b должно делиться на 10, а у нас других таких чисел нет. Таким образом, пример подходит. Из "круглых" чисел берётся максимум одно. Остаётся 90, и они разбиты на 45 пар, в сумме дающих 100 (1+99=2+98=...=49+51). Из каждой такой пары может присутствовать не более одного числа. Если брать более 45 чисел, то из каждой пары придётся брать ровно по одному. Но тогда будет присутствовать как число, кратное 25 (одно из 25 или 75), так и число, кратное 4 (одно из 4 или 96). Значит, примера с большим количеством у нас нет. отвечен 27 Авг '18 12:40 
falcao @falcao, большое спасибо!
(28 Авг '18 9:47)
Казвертеночка
|