Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди натуральных чисел, не превосходящих 100, так, чтобы ни сумма, ни произведение никаких двух различных выбранных чисел не делились на 100?

задан 27 Авг '18 11:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Возьмём числа от 1 до 49, исключая 20, 30, 40, 25. Это даёт пример 45 чисел: сумма любых двух меньше 100, а если произведение ab делится на 100, то оба числа a, b кратны 5, так как чисел, делящихся на 25, не было взято. Тогда хотя бы одно из чисел чётно, и можно считать, что a делится на 10. Значит, a=10. Но тогда b должно делиться на 10, а у нас других таких чисел нет. Таким образом, пример подходит.

Из "круглых" чисел берётся максимум одно. Остаётся 90, и они разбиты на 45 пар, в сумме дающих 100 (1+99=2+98=...=49+51). Из каждой такой пары может присутствовать не более одного числа. Если брать более 45 чисел, то из каждой пары придётся брать ровно по одному. Но тогда будет присутствовать как число, кратное 25 (одно из 25 или 75), так и число, кратное 4 (одно из 4 или 96). Значит, примера с большим количеством у нас нет.

ссылка

отвечен 27 Авг '18 12:40

@falcao, большое спасибо!

(28 Авг '18 9:47) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,095
×201
×109
×11
×3

задан
27 Авг '18 11:50

показан
249 раз

обновлен
28 Авг '18 9:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru