В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 5. Найдите наименьшее $%n\in\mathbb{N}$%, при котором произведение не могло увеличиться ровно в $%n$% раз.

задан 1 Сен '18 12:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

Ответ: n=7.

Для начала приведём примеры троек для каждого из случаев 1<=n<=6.

(1,2,6) n=1

(1,3,20) n=2

(1,2,10) n=3

(1,2,15) n=4

(1,2,30) n=5

(1,1,8) n=6

Покажем, что для n=7 тройки не существует. Наложим условие a<=b<=c. Ясно, что среди чисел a-5, b-5, c-5 нет нулей. Если там все числа положительны, то произведение строго уменьшилось: (a-5)(b-5)(c-5) < abc. Значит, отрицательные числа есть, и тогда их ровно два -- чтобы произведение оказалось положительным. Отсюда следует, что a<=b<=4 < c. Тогда должно оказаться, что (5-a)(5-b)(c-5)=7abc. С учётом ограничений на a,b, число с-5 кратно 7. Полагаем c=5+7k, где k>=1. Имеем (5-a)(5-b)k=ab(7k+5). Тем самым, (5/a-1)(5/b-1)=7+5/k > 7. Значения сомножителей в левой части могут быть только 4, 3/2, 2/3, 1/4. Чтобы произведение было больше 7, подходит только случай двух четвёрок, так как 4(3/2)=6 уже меньше. Но тогда в левой части будет 16, откуда 5/k=9 при натуральном k -- противоречие.

Если я не ошибаюсь, то n может также принимать значения 8,11,12,14,15, а никакие другие значения невозможны.

ссылка

отвечен 1 Сен '18 15:22

@falcao, большое спасибо! У меня тоже примеры для чисел от 1 до 6 есть, но один из них не совпадает с Вашим: (2,2,45) n=2;

(1 Сен '18 15:39) Казвертеночка
2

@Казвертеночка: да, там для одного и того же n иногда есть несколько примеров. Для n=2 их вроде бы два, для n=1 их три, а для остальных n ровно по одному.

(1 Сен '18 16:16) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,366
×47
×35
×21
×1

задан
1 Сен '18 12:07

показан
336 раз

обновлен
1 Сен '18 16:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru