Пусть даны множества действительных чисел $%\mathbb{X}=\{x\},\;\mathbb{Y}=\{y\}$%. Под множеством $%\{x+y\}$% будем понимать всевозможные суммы чисел $%x\in\mathbb{X}$% и $%y\in\mathbb{Y}$%.

а) Доказать, что $$\sup\{x+y\}=\sup\{x\}+\sup\{y\}$$ б) Доказать, что $$\inf\{x+y\}=\inf\{x\}+\inf\{y\}$$ в) Под множеством $%\{xy\}$% будем понимать всевозможные произведения неотрицательных чисел $%x\in\mathbb{X}$% и $%y\in\mathbb{Y}$%. Доказать, что $$\sup\{xy\}=\sup\{x\}\sup\{y\},$$ $$\inf\{xy\}=\inf\{x\}\inf\{y\}$$ $$(x\geqslant 0, y\geqslant 0)$$ г) Доказать, что $$\sup\limits_{x\in\mathbb{A}}(-x)=-\inf\limits_{x\in\mathbb{A}}(x),\quad \inf\limits_{x\in\mathbb{A}}(-x)=-\sup\limits_{x\in\mathbb{A}}(x)$$

задан 3 Сен '18 16:20

изменен 3 Сен '18 16:35

1

@Казвертеночка: запись X={x} означает, что X одноэлементно и состоит из единственного элемента x. Ясно, что имелось в виду не это.

Все эти упражнения стандартны и относятся к простейшим свойствам. Я не знаю, надо ли тут всё подробно расписывать? Ведь это, по сути дела, совершенно неинтересно, и важны лишь приёмы, которые в таких доказательствах используются. Их можно продемонстрировать на примере а). Делается так: полагаем a=sup X, b=sup Y. Тогда x<=a, y<=b, x+y<=a+b. Это верхняя грань для X+Y. Она точная, т.к. существуют x > a-eps/2, y > b-eps/2, и тогда x+y > a+b-eps для всех eps > 0.

(3 Сен '18 18:01) falcao

@falcao, большое спасибо!

(3 Сен '18 18:12) Пацнехенчик ...
1

@Пацнехенчик ...: добавлю, что вся "технология" решения таких примеров мало чем отличается от доказательства теорем типа того, что предел суммы равен сумме пределов, и то же для произведения. Более того, это почти одно и то же, так как sup для множеств -- это аналог предела для последовательностей или функций. А в целом всё то же самое: применение определений, замена eps на eps/2 или eps/(2M) где нужно, и т.п.

(3 Сен '18 18:22) falcao

@falcao, большое спасибо! А разве только лишь ради слова "биргетит" не стоило выложить этот вопрос?

(3 Сен '18 23:21) Казвертеночка
1

@Казвертеночка, про "биргетит" - это бородатая шутка... нам её рассказывали лет 30 назад, когда я учился в университете, как real story, произошедшая с одним из преподавателей в соседнем вузе нашего города ...

(4 Сен '18 0:09) all_exist
1

@Казвертеночка, @all_exist: а я впервые услышал это слово, и даже не задался вопросом, откуда оно. Думал в первую очередь на что-нибудь, связанное с ивритом :) Оказывается, это из той же серии, что и всем известная чеховская "реникса".

(4 Сен '18 0:29) falcao
1

@falcao, насколько я могу судить, это не одно и тоже... "реникса" - это транскрипция, а "бергетит" это прочтение латиницы русскими буквами, схожими по написанию...

Из этой серии нам ещё рассказывали как преподаватель писал фамилии в именных теоремах на языке оригинала, а студент прочитал вместо теоремы Morera, "теорема Мочеча"... печально ...

(4 Сен '18 2:28) all_exist

@all_exist: я рассматриваю обе ситуации как полностью аналогичные. Есть слово, написанное на одном языке, и его читают, как будто оно написано на другом. Принцип тот же самый, но в одном случае получается ошибка типа rus-lat, а в другом lat-rus. Для ещё более полной аналогии можно было написать birgetit.

(4 Сен '18 2:48) falcao

@falcao, мдя... "был не прав, вспылил"(с) ... )))

(4 Сен '18 3:03) all_exist
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,134
×262
×33
×5
×1

задан
3 Сен '18 16:20

показан
226 раз

обновлен
4 Сен '18 3:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru