Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y=e^(-x), x=1, x=2, y=0

задан 18 Апр '13 9:19

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь необходимо вычислить следующие интегралы: $%\iint\limits_D xdxdy, \iint\limits_D ydxdy, \iint\limits_Ddxdy$%

Последний интеграл сводится (т. к. он имеет смысл площади) к $%\int\limits_1^2e^{-x}dx$%

Первые два примут вид $%\int\limits_1^2dx\int\limits_0^{e^{-x}}xdy$% и $%\int\limits_1^2dx\int\limits_0^{e^{-x}}ydy$%

Для получения абсциссы центра надо поделить первый из последних интегралов, на площадь, для ординаты - второй.

ссылка

отвечен 18 Апр '13 9:34

изменен 18 Апр '13 9:35

При делении получается абсцисса = (-4+e^2)/(2+2e), ордината = (1+e^2)/(e^2+e^3) это разве нормально?

(18 Апр '13 21:49) Евгений5698

@Евгений5698: наличие в ответе каких-то величин типа степеней $%e$% в такого рода задаче совершенно естественно из-за специфики интегрируемой функции. Но проверьте свои вычисления: ответы у Вас получились неправильные. Скажем, абсцисса точно должна находиться между 1 и 2 чисто из физических соображений, а у Вас она где-то между 0 и 1.

(18 Апр '13 22:33) falcao

Проверил, теперь получается: абсцисса = (3e-2)/(e-1); ордината = (-1-e)/(4e^2) это уже более реально? Теперь вроде все интегралы взял правильно

(18 Апр '13 23:06) Евгений5698

@Евгений5698: это уже ближе к истине, но пока ещё неправильно. В частности, ордината отрицательной быть не может.

(18 Апр '13 23:14) falcao

Да, однако не получается при пересчёте ордината положительной: интеграл от (2 ; 1)dx интеграла (0 ; e^-x) ydy = (-3+2e)/e^2; площадь = (e-1)/e^2, и при делении первого на второе получается отрицательное значение. а вот абсцисса уже с новым значением = (3-2e)/(e-1)

(18 Апр '13 23:37) Евгений5698

@Евгений5698: а почему Вы интегрируете от большего значения к меньшему? Надо наоборот, и тогда знак поменяется на правильный. Соответственно, и абсцисса получилась отрицательная, чего не может быть. Но с точностью до знака сейчас всё верно.

(19 Апр '13 0:00) falcao

Я просто написал так от 2 до 1, читая сверху вниз)

(19 Апр '13 7:33) Евгений5698

@Евгений5698: принято говорить "интеграл от 1 до 2", хотя вычисляют его по формуле $%F(2)-F(1)$%, где $%F$% -- первообразная. Так или иначе, там все значения должны быть положительные. Там за счёт минуса в показателе, у первообразных появляются минусы, то есть за этим делом надо следить с удвоенной внимательностью.

(19 Апр '13 11:01) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Привожу решение:

y=(e-1)/2e^2
x=2-ln((e-1)/2)

Решается элементарно.

ссылка

отвечен 19 Апр '13 17:52

@Barmaley: а как мог у $%x$% получиться натуральный логарифм? Там же при интегрировании он никак не может возникнуть. Правильные ответы должны быть такие: $%x=(2e-3)/(e-1)$%, $%y=(e+1)/(4e^2)$%.

(19 Апр '13 18:04) falcao

Да, действительно получилось так же как и у вас, falcao Спасибо

(20 Апр '13 14:05) Евгений5698
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,636
×840

задан
18 Апр '13 9:19

показан
1911 раз

обновлен
20 Апр '13 14:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru