На изначально чистую доску выписали несколько (больше одного) попарно различных натуральных чисел. Оказалось, что сумма всех выписанных чичел равна произведению двух наибольших.

Доказать, что на доску были выписаны числа 1, 2 и 3, и только они.

задан 4 Сен '18 20:49

изменен 5 Сен '18 11:31

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


6.0k211

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть a < b -- два наибольших числа. Тогда произведение двух наибольших равно ab=b+(a-1)b>=b+(a-1)(a+1). Сумма всех чисел не превосходит b+a+(a-1)+...+1=b+a(a+1)/2. Отсюда следует неравенство b+(a-1)(a+1)<=b+a(a+1)/2, то есть a<=2.

Случай a=1 не подходит, так как тогда чисел всего два: 1 и b, но их сумма больше произведения. Значит, a=2. Если 1 не участвует, то чисел снова два, и 2+b=2b, что возможно только при b=2, но числа попарно различны. Значит, мы имеем дело с тремя числами 1, 2, b, и уравнение имеет вид b+3=2b, откуда b=3.

ссылка

отвечен 4 Сен '18 21:06

@falcao, большое спасибо!

(5 Сен '18 11:29) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
1

"Напролом через чащу"...

Пусть максимальные выписанные числа $%n\ge 2$% (случай $%n=1$% проверяется вручную) и $%n+k$%, где $%k \ge 1$%... ... тогда сумма всех выписанных чисел не превосходит $$ 1+2+\ldots+n+(n+k) = \frac{n(n+1)}{2}+(n+k) $$ Сравниваем с произведением максимальных $$ n(n+1)+2(n+k)\ge 2n(n+k) $$ $$ n^2+(2k-3)n-2k\le 0 $$ Соответствующее уравнение имеет положительный корень, поскольку последний коэффициент отрицательный... $$ n_{+}=\frac{-(2k-3)+\sqrt{4k^2-4k+9}}{2} $$ Рассмотрим условие $%n_{+}\ge 2$%... откуда получаем, что оно возможно только при $%k\le 1$% ... то есть $%k=1$%, откуда $%n_{+}= 2$% и это единственный вариант...

ссылка

отвечен 4 Сен '18 21:32

изменен 4 Сен '18 21:33

@all_exist, большое спасибо!

(5 Сен '18 11:30) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,167
×6
×4
×2

задан
4 Сен '18 20:49

показан
271 раз

обновлен
5 Сен '18 11:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru