Доказать, что для каждого $%n\in\mathbb{N}$% существует бесконечно много таких троек попарно различных натуральных чисел $%(a, b, c)$%, что $%a+b+c$% и $%abc$% являются $%n$%-ными степенями некоторых натуральных чисел.

Для $%n=2$% такую бесконечную серию троек найти нетрудно. Пусть $%k$% - нечётное натуральное число. Тогда тройка $%(6^k,\; 2\cdot 6^k,\; 3\cdot 6^k)$% удовлетворяет условию задачи.

При $%n=3$% тоже особых проблем нет - возьмём все тройки вида $%(7^{3m-1},\; 2\cdot 7^{3m-1},\; 4\cdot 7^{3m-1})$%, где $%m\in\mathbb{N}$%.

Как двигаться дальше? Пожалуйста, помогите решить.

задан 5 Сен '18 23:01

изменен 6 Сен '18 11:37

1

Общего ответа пока не знаю, но для кубов есть ещё пример 3^3+4^3+5^3=6^3. Произведение слагаемых является кубом. Домножение на k^3 даёт бесконечное множество примеров.

(6 Сен '18 4:08) falcao

@falcao, думаю, и с остальными степенями следует проделать то же самое, что Вы проделали с кубами. То есть, найти три энных степени, в сумме дающие также энную степень. Можно начать с четвёртой - есть три точных четвёртых степени, дающие в сумме точную четвёртую степень? Если есть, как их найти?

(6 Сен '18 10:28) Казвертеночка
1

$%95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}$%

(6 Сен '18 10:53) spades
1

Но с пятой и далее такой трюк уже вряд ли получится. Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

(6 Сен '18 10:57) spades

@spades, а как нашли?

(6 Сен '18 10:57) Казвертеночка

@EdwardTurJ, спасибо за ссылку. Но ведь найти три энных степени, в сумме дающие также энную степень - это не единственный способ решить исходную задачу. Например, числа 6, 12 и 18 в сумме и в произведении дают квадрат, но ни одно из них квадратом не является.

(6 Сен '18 10:59) Казвертеночка
1
(6 Сен '18 11:27) spades
1

@Казвертеночка: имелось в виду, что тот же самый принцип решения для случая высоких степеней упирается в открытую проблему. Ясно, что можно пробовать и какие-то другие способы, но мне пока не ясно, какие.

(6 Сен '18 13:36) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,059
×41
×24
×16
×8

задан
5 Сен '18 23:01

показан
275 раз

обновлен
6 Сен '18 13:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru