Как доказать тождество

$$(1-2sin^2a)/(1+sin2a)=(1-tga)/(1+tga)$$

задан 18 Апр '13 21:32

изменен 18 Апр '13 21:49

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
1

Правая часть равенства равна $$\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha},$$ если выразить тангенс как отношение синуса и косинуса.

В левой части, числитель равен $%\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$% с учётом основного тригонометрического тождества. В знаменателе, с учётом этого же тождества, а также формулы для синуса двойного угла, получается $%1+\sin2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2$%. Далее остаётся сократить дробь в левой части на сумму синуса и косинуса (разложив перед этим разность квадратов в числителе), и окажется, что левая часть равна правой.

Желательно также заметить, что областью определения этого тождества является множество всех $%\alpha\neq-\frac{\pi}4+\pi k$%, а также $%\alpha\neq\frac{\pi}2+\pi k$% (с учётом области определения тангенса), где $%k\in{\mathbb Z}$%.

ссылка

отвечен 18 Апр '13 22:10

изменен 18 Апр '13 23:57

Неужели все так просто? Спасибо за ответ!

(18 Апр '13 22:13) zanlo
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$\frac{1-2sin^2a}{1+sin2a}=\frac{1-tga}{1+tga}\Leftrightarrow \frac{cos2\alpha}{1+sin2\alpha}=\frac{1-tga}{1+tga}\Leftrightarrow\frac{sin2(\frac{\pi}{4}-\alpha)}{1+cos2(\frac{\pi}{4}-\alpha)}=\frac{1-tga}{1+tga}$$$$\Leftrightarrow tg(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{1-tga}{1+tga}.$$

ссылка

отвечен 19 Апр '13 11:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×44

задан
18 Апр '13 21:32

показан
4995 раз

обновлен
19 Апр '13 11:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru