|
Правая часть равенства равна $$\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha},$$ если выразить тангенс как отношение синуса и косинуса. В левой части, числитель равен $%\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$% с учётом основного тригонометрического тождества. В знаменателе, с учётом этого же тождества, а также формулы для синуса двойного угла, получается $%1+\sin2\alpha=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2$%. Далее остаётся сократить дробь в левой части на сумму синуса и косинуса (разложив перед этим разность квадратов в числителе), и окажется, что левая часть равна правой. Желательно также заметить, что областью определения этого тождества является множество всех $%\alpha\neq-\frac{\pi}4+\pi k$%, а также $%\alpha\neq\frac{\pi}2+\pi k$% (с учётом области определения тангенса), где $%k\in{\mathbb Z}$%. отвечен 18 Апр '13 22:10 
falcao Неужели все так просто? Спасибо за ответ!
(18 Апр '13 22:13)
zanlo
|
|
$$\frac{1-2sin^2a}{1+sin2a}=\frac{1-tga}{1+tga}\Leftrightarrow \frac{cos2\alpha}{1+sin2\alpha}=\frac{1-tga}{1+tga}\Leftrightarrow\frac{sin2(\frac{\pi}{4}-\alpha)}{1+cos2(\frac{\pi}{4}-\alpha)}=\frac{1-tga}{1+tga}$$$$\Leftrightarrow tg(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\frac{1-tga}{1+tga}.$$ отвечен 19 Апр '13 11:27 
Anatoliy |