-1

Является ли векторным пространством над C множество многочленов f(x) степени не выше n с комплексными коэффициентами, для которых $$x^{n}*f(\frac{1}{x}) = f(x)$$

задан 11 Сен '18 21:57

Многочлены не выше $%n$%-ой степени изоморфны векторам с $%n$% координатами... условие, которое дано в задаче, означает, что коэффициенты многочлена (координаты вектора) одинаково читаются слева направо и наоборот...

Вот и проверяйте, будет ли такое множество векторным пространством...

(11 Сен '18 22:17) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
4

Общий вид многочлена степени $%\le n$% таков: $%f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$%, где коэффициенты -- произвольные элементы из $%\mathbb C$%. Тогда $%x^nf(\frac1x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$%, то есть его коэффициенты записаны в обратную сторону. Необходимым и достаточным условием совпадения двух многочленов является система условий $%a_0=a_n$%, $%a_1=a_{n-1}$%, ... , то есть общий вид многочлена из условия можно записать как $%f(x)=a_0(x^n+1)+a_1(x^{n-1}+x)+\cdots$%. Это значит, что рассматриваемое множество многочленов есть линейная оболочка системы $%L_n=\{x^n+1,x^{n-1}+x,\ldots\}$%, где при нечётном $%n=2k+1$% последний многочлен равен $%x^{k+1}+x^k$%, а при чётном $%n=2k$% в конце находится $%x^k$%.

Отсюда сразу вытекает, что множество многочленов из условия является векторным пространством над $%\mathbb C$%. Мы также нашли в нём базис $%L_n$% и определили его размерность, которая в обоих случаях равна $%k+1=[\frac{n}2]+1$%.

ссылка

отвечен 11 Сен '18 22:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×435
×206
×132
×78

задан
11 Сен '18 21:57

показан
192 раза

обновлен
11 Сен '18 22:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru