Площадь равностороннего треугольника АВС равна 72. Окружности с центрами О1, О2 и О3 лежат целиком внутри треугольника АВС и каждая из них проходит через точку пересечения его медиан. При этом, окружность с центром О1 касается сторон АВ и ВС, окружность с центром О2 касается сторон АВ и АС, окружность с центром О3 касается сторон АС и ВС. Найти площадь треугольника О1О2О3.

задан 19 Апр '13 19:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

$%\triangle ABC$% подобен $%\triangle O_1O_2O_3$% с коэффициентом подобия $%k=\frac{OB}{OO_1}=\frac{3r}{r}=3.$% Значит $$S_{\triangle O_1O_2O_3}=\frac{S_{\triangle ABC}}{3^2}=\frac{72}{9}=8.$$

ссылка

отвечен 19 Апр '13 20:15

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%O$% -- центр треугольника $%ABC$%, то есть точка пересечения его медиан. Обозначим через $%x$% радиус каждой из окружностей с центрами $%O_i$% ($%i=1,2,3$%). Опустим из точки $%O_1$% перпендикуляры на прямые $%AB$% и $%BC$%, обозначая их основания через $%K$% и $%L$% соответственно. Ясно, что $%O_1K=O_1L=O_1O=x$%. Треугольник $%BO_1K$% является прямоугольным с острым углом $%30^\circ$% при вершине $%B$%. Длина катета $%KO_1$%, лежащего напротив этого угла, равна $%x$%, поэтому гипотенуза вдвое длиннее, то есть $%O_1B=2x$%. Отсюда $%OB=OO_1+O_1B=x+2x=3x$%. Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника $%O_1O_2O_3$%, равный $%OO_1=x$%, в три раза меньше радиуса окружности, описанного около треугольника $%ABC$%, равного $%OB=3x$%. Это значит, что все линейные размеры треугольника $%O_1O_2O_3$% в $%3$% раза меньше линейных размеров треугольника $%ABC$%, а потому площадь первого треугольника в $%3^2=9$% раз меньше площади второго. Таким образом, ответом в задаче будет число $%72/9=8$%.

ссылка

отвечен 19 Апр '13 20:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,925

задан
19 Апр '13 19:37

показан
2627 раз

обновлен
19 Апр '13 20:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru