|
Итак , речь пойдет о равенстве: $$0.999...=1$$ (ноль и девять в периоде равно единице) Доказать это довольно таки просто , обозначив 0.999... за X и т.д.( подробнее здесь link text Но ведь если посмотреть на это равенство , то оно кажется абсурдным. Кажется абсолютно очевидным то , что равенство НЕверное. Но с другой стороны мы его доказали! Так что же это? Верное равенство или чушь? Или вообще какой-то парадокс? задан 19 Апр '13 19:56 
SenjuHashirama |
|
Это не парадокс. Тут надо исходить из того, какой смысл имеет запись $%0.999...$%. Если её интерпретировать как десятичную запись числа, то она некорректна, так как девятка в периоде не разрешена. Если понимать её условно как сумму ряда $%9/10+9/100+9/1000+\cdots$%, то эта сумма равна $%1$%, и в этом смысле равенство будет верно. То, что здесь создаёт ощущение неверного равенства (несовпадение десятичных цифр), как раз и является основанием для запрета девятки в периоде -- чтобы представление действительных чисел в таком виде обладало единственностью. отвечен 19 Апр '13 20:08 
falcao Но разве сумма этого ряда и число 0.999... не одно и то же?
(19 Апр '13 21:00)
SenjuHashirama
Это одно и то же лишь в том смысле, что записи $%0.999...$% трудно придать какой-то ещё разумный смысл. Но её можно вообще не разрешать, как это и делается в теории десятичных дробей, и тогда "парадокс" сразу исчезает.
(19 Апр '13 21:14)
falcao
|
|
В чем вопрос, не понимаю?
В математике это сплошь и рядом. "Кажется" не считается, считается только "доказано". Вот, кажется ведь, что четных чисел меньше, чем всех целых? Но их (в определенном смысле) столько же. Математики дают строгие определения и доказательства, а что сверх того - от лукавого. отвечен 20 Апр '13 1:59 
DocentI Как правило, за любым "кажется" скрывается какое-то верное утверждение, и задача может состоять в подборе верной интерпретации. Скажем, то ощущение, что чётных чисел "ровно половина" от всех остальных, отражает следующий верный факт: для любой конечно-аддитивной инвариантной (относительно сдвигов) меры на $%{\mathbb Z}$%, мера множества чётных чисел равна $%1/2$%. В данном примере также возможно предложить подходящую интерпретацию, если вместо обычного континуума рассматривать канторово множество. Тут под "очевидно неверным" имелось в виду, что последовательности цифр получаются разные.
(20 Апр '13 7:25)
falcao
Конечно, Вы правы. Но все-таки у меня укоренилось убеждение, что "очевидно" для математика - довольно сомнительное слово. Не в пример менее ценное, чем "доказано". Ну, а то, что математические факты зависят от предварительны соглашений - это очень важно, но к этому очень трудно приучить. Людям кажется, что в математике есть какая-то "абсолютная истина".
(20 Апр '13 20:19)
DocentI
@DocentI: проблема с мнимой "очевидностью" существует, но это тогда, когда кому-то лень доказывать как следует. Здесь же имеет место явно другой случай, когда некая разница бросается в глаза. Мы часто опираемся на такие "очевидности", которые даже не замечаем: на уровне сличения одинаковых символов. Эти вещи первичнее даже доказательств. По поводу соглашений и их особого статуса -- тут ситуация очень "запущена". Люди в массе своей мыслят антиметодологично, и сами создают себе трудности.
(20 Апр '13 22:35)
falcao
|