Пусть из полного комплекта домино случайным образом подряд вынимаются 11 костей и не возвращаются. Какова вероятность того, что сумма очков на всех вытянутых костях будет кратна 11? Как изменится эта вероятность, если известно, что первой костью оказалась пустая?

задан 12 Сен '18 6:06

10|600 символов нужно символов осталось
1

У меня получилось, что в первом случае ответом будет величина $%\frac1{11}+\frac1{C_{28}^{11}}$%, а во втором -- ровно $%\frac1{11}$%.

Лемма. Пусть даны карточки, на которых написаны значения от 0 до 10. Мы берём $%k$% из них, где $%1\le k\le10$%. Тогда вероятность того, что сумма значений карточек по модулю 11 примет любое из возможных значений, одинакова, и равна $%\frac1{11}$%.

Доказательство. Рассмотрим перестановку, переводящую все значения $%i$% в $%i+1$% по модулю 11. Ясно, что вероятность извлечь данный набор карточек равна вероятности извлечь набор после перестановки. Суммы при этом отличаются по модулю $%11$% на значение $%2k$%, взаимно простое с 11. Поэтому для вероятности $%p(x)$% получить значение $%x$% по модулю 11, имеет место равенство $%p(x)=p(x+2k)$%, и далее $%p(x)=p(x+2k)=p(x+4k)=\cdots=p(x+20k)$%.

Ясно, что значения $%2k$%, $%4k$%, ... , $%20k$% представляют собой полный набор ненулевых остатков от деления на 11, поэтому $%p(x)=p(x+1)=\cdots=p(x+10)$%, то есть все вероятности одинаковы. Поэтому они равны $%\frac1{11}$%. Лемма доказана.

Теперь рассмотрим первый вариант задачи. Для каждой кости домино возьмём остаток от деления суммы значений её очков по модулю 11. Получится набор чисел, куда по два раза входит каждый остаток (это 22 штуки), и ещё 6 дополнительных значений 4, 5, 6, 6, 7, 8. Эти 28 чисел напишем на карточках. Важно то, что среди них хотя бы по разу присутствуют все 11 значений. Выделим 11 карточек, на которых эти значения написаны. Тогда с вероятностью $%\frac1{C_{28}^{11}}$% мы можем вынуть именно эти 11 карточек. Исключим такую возможность, и покажем, что для всех остальных случаев, вероятности получения заданного остатка для общей суммы одинаковы.

Оставшиеся случаи разбиваются в дизъюнктное объединение условий, когда из выделенного набора мы берём $%k$% карточек, где $%1\le k\le10$%. Достаточно доказать, что все условные вероятности получить любое заданное значение суммы по модулю 11, одинаковы. Это в принципе очевидно, но приведём доказательство.

Если для пространства элементарных событий имеет место разбиение $%\Omega=A_1\cup\cdots\cup A_n$%, где части попарно не пересекаются, и $%P(A|A_i)=p$% для всех $%1\le i\le n$%, то $%P(A)=p$%. Действительно,

$%P(A)=P(AA_1)+\cdots+P(AA_n)=P(A|A_1)P(A_1)+\cdots+P(A|A_n)P(A_n)=$%

$%=p(P(A_1)+\cdots+P(A_n))=p$%.

Зафиксируем $%k$%, и далее рассмотрим все случаи извлечения $%11-k$% карточек из не выделенных. Они в сумме дают какое-то значение, от которого далее зависит, какова будет общая сумма по модулю 11. Но она ввиду леммы с равной вероятностью принимает каждое из значений. С учётом замечания об условных вероятностях выше, получаем требуемое.

И второй вариант задачи: первая кость может быть какой угодно. Если её зафиксировать, то далее останется возможность выделить карточки с каждым из значений по разу. После этого останется взять уже только десять карточек, и тогда работает та же лемма и то, что из неё следует. То есть вероятности будут равны $%\frac1{11}$%.

ссылка

отвечен 13 Сен '18 1:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×160

задан
12 Сен '18 6:06

показан
139 раз

обновлен
13 Сен '18 1:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru