Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа, обладающих следующим свойством: если к произведению любых двух из них прибавить произведение двух остальных чисел, то получится точный квадрат.

Либо докажите, что таких чисел не существует.

задан 14 Сен 11:25

2

$$1,4,9,28.$$

(14 Сен 11:55) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, большое спасибо!

(14 Сен 16:09) Казвертеночка
2

Интересен вопрос: "Бесконечно ли много таких четвёрок ...".

(14 Сен 20:04) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
2

Таких четвёрок не только бесконечно много, но намного больше, чем может показаться.

Пусть a=1, b=4. Рассмотрим квадратичные последовательности 9,28,57,96,145,... и 12,33,64,105,156,..., задаваемые формулами n(5n+4) и n(5n-4) соответственно (вторая при n>=2). Если в качестве c,d взять два соседних члена одной из этих последовательностей, то числа ab+cd, ac+bd, ad+bc окажутся точными квадратами.

Для первого случая при c=(n-1)(5n-1) и d=n(5n+4) получаются квадраты чисел 5n^2-n-2, 5n+1, 5n-2. Для второго при c=n(5n-4) и d=(n+1)(5n+1) будут квадраты 5n^2+n-2, 5n+2, 5n-1 (везде n>=2). Обе эти серии можно объединить в одну.

Интересно, что для случая a=1, b=4 есть решения, ни в одну из указанных серий не укладывающиеся. Например, четвёрка 1, 4, 33, 124. При этом суммы произведений пар -- квадраты чисел 64, 23, 16, то есть там будут две четвёртых степени из трёх. За этим наверняка скрывается какая-то интересная серия, но я пока не знаю, какая именно.

Далее, если положить a=2, b=3, то для значений c,d снова возникают две серии: 6,23,50,... (5n^2+12n+6; n>=0) и 15,38,71,... (5n^2-12n+6; n>=3). Как и в предыдущем случае, есть несколько "побочных" решений с использованием тех же чисел: 2,3,15,290 и 2,3,23,146.

Это далеко не всё, так как при a=3 подходят для серий и b=6, и b=7. При b=6 получаются серии квадратических многочленов со старшим коэффициентом 9, что равно a+b, как и для примеров выше. Серий при этом почему-то уже три, а не две. Нет сомнения, что тут есть серии из серий, но пока не ясно, какие можно брать значения для пары (a,b).

Задача оказалась очень интересной. В идеале, конечно, хотелось бы описать все решения.

ссылка

отвечен 15 Сен 0:05

@falcao, большое спасибо! Весьма интересно!

(15 Сен 0:57) Казвертеночка

@Казвертеночка: было бы также интересно получить явный критерий того, когда для данных a,b найдутся c,d. Можно допускать совпадения чисел, если мы интересуемся описанием. Нетрудно показать, что пара 1,2 не продолжается. Там "всплывают" вопросы об остатках квадратов, то есть можно предположить, что критерий формулируется в терминах символов Лежандра. Есть, кстати, теорема самого Л. о критерии для троек a,b,c, для которых уравнение ax^2+by^2=cz^2 имеет решения в целых числах. Довольно красивая вещь.

(15 Сен 3:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×798
×202
×136
×28

задан
14 Сен 11:25

показан
90 раз

обновлен
15 Сен 3:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru