-2

Нужно показать, что множество остатков от деления на x^5 + 1 в поле F2 образуют кольцо с единицей относительно сложения и умножения. То есть нужно перебрать все остатки от деления многочлена ax^5 +bx^4 +cx^3 + dx^2 +ex+f на x^5 + 1 в поле F2. Получается 32 варианта, или я что-то не понимаю? Аналогично для x^4 + x^2 +1

задан 16 Сен '18 0:44

@Abudabi: имеет место совершенно общий факт. Если рассмотреть факторкольцо F[x]/(f(x)) по главному идеалу, где F -- любое поле, а f(x) -- любой (ненулевой) многочлен, то в любом классе есть ровно один многочлен степени < n=deg f. Это остаток от деления на f(x). Поэтому элементы такого кольца можно отождествить с остатками, и операции получаются простые: сложение обычное, умножение сначала обычное, потом берём остаток. Приходим в итоге к тому, что описано в условии. Это кольцо, так как оно изоморфно факторкольцу. Перебирать тут ничего не надо.

(16 Сен '18 0:50) falcao

@falcao: Не понял. То есть можно заменить все кольцо F на кольцо остатков на f(x)? А откуда эти остатки брать?

(16 Сен '18 1:03) Abudabi

@Abudabi: идея в том, чтобы не проверять длинный список аксиом кольца, а рассмотреть уже имеющееся кольцо, которое изоморфно данному. Для любого многочлена f(x) уже имеется факторкольцо кольца многочленов F[x] по идеалу (f(x)), которое из этих остатков фактически и состоит. Ваш вопрос я не понял. Во-первых, F -- поле, и мы его ни на что не заменяем. Во-вторых, мы рассматриваем все многочлены, то есть берём F[x], а потом факторизуем по идеалу. Строение такого факторкольца довольно простое (я его кратко напомнил), и это ровно то, что нам нужно. Без лишних проверок и вычислений.

(16 Сен '18 3:29) falcao

@falcao: не могли бы вы, пожалуйста, показать ход решения на примере x^5 + 1, потому как я не совсем понимаю

(17 Сен '18 15:40) Abudabi

@Abudabi: остатки от деления на многочлен 5-й степени (не важно, какой) -- это многочлены степени не выше 4, то есть a+bx+cx^2+dx^3+ex^4, где a,b,c,d,e -- элементы поля F2, то есть они равны 0 или 1. Их можно складывать (обычным образом), а также перемножать. В последнем случае могут возникать степени вплоть до 8-й. Их заменяем по правилам x^5=1, x^6=x, x^7=x^2, x^8=x^3. Это даёт множество со сложением и умножением. Оно является кольцом, так как изоморфно факторкольцу F2[x]/(x^5+1).

Для понимания решения нужно знать, что такое факторкольцо, что такое главный идеал, и прочие стандартные вещи.

(17 Сен '18 18:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,177
×235
×36

задан
16 Сен '18 0:44

показан
173 раза

обновлен
17 Сен '18 18:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru