В мешке 37 шаров. 2 шарика из них дают 2 очка. 12 шариков дают по 1 очку. 23 шарика без очков. Какая вероятность что за 20 раз можно собрать больше 11 очков. После выемки шар обратно кладется в мешок.

задан 16 Сен 14:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Например, для варианта $%A_1=2\times 2+12\times 1 + 6\times 0$%, где первый множитель это количество шариков, а второй - число очков, вероятность вычисляется как $$ P(A_1) = \frac{20!}{2!\cdot 12!\cdot 6!}\cdot \left(\frac{2}{37}\right)^2\cdot \left(\frac{12}{37}\right)^{12}\cdot \left(\frac{23}{37}\right)^6 $$ перебираете остальные варианты и складываете полученные вероятности...

ссылка

отвечен 16 Сен 15:11

А остальные какие варианты?

(16 Сен 19:11) Аман

@Аман: вариантов тут очень много -- они соответствуют тройками чисел, когда мы набираем от 12 очков и более. (Я ради любопытства проверил -- этих вариантов 215 штук.) Поэтому без компьютера тут ничего не найти.

(16 Сен 19:19) falcao

спасибо, но хотелось какой нибудь общий формулы для подсчета.

(16 Сен 19:27) Аман

@Аман: в моём ответе и дана такая формула в виде двойной суммы. Там также объяснено, как она получается. А формулы какого-то простого вида здесь нет.

(16 Сен 19:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Заметим, что среднее число очков, набираемое при одном испытании, равно $%(2\cdot2+1\cdot12)/37=16/37$%. При 20 испытаниях в среднем набирается $%320/37\approx8,65$% очков, что довольно далеко от 12 (нижней границы нормы). Поэтому следует ожидать, что вероятность не будет здесь слишком большой.

Далее, надо заметить, что такая задача вряд ли предусматривает "ручные" вычисления: нужно сначала вывести формулы, а потом выполнить подсчёты на компьютере.

Пусть мы в ходе 20 испытаний $%k$% раз извлекли 2 очка, $%m$% раз извлекли 1 очко, и остальные $%l=20-k-m$% раз извлекли 0 очков. Тогда мы набрали $%2k+m$% очков, что должно быть не меньше 12. Число способов извлечь шары по схеме типа $%(k,m,l)$% равно числу перестановок в повторениями: $%\frac{(k+m+l)!}{k!m!l!}=\frac{20!}{k!m!(20-k-m)!}$%. Вероятность одного фиксированного события такого типа равна $%p^kq^mr^l$%, где $%p=2/37$%, $%q=12/37$%, $%r=23/37$%. Суммирование ведётся для случаев $%2k+m\ge12$%, $%k+m\le20$% при неотрицательных значениях параметров. Поэтому при фиксированном $%0\le k\le20$%, границы изменения $%m$% даются неравенствами $%\max(0,12-2k)\le m\le20-k$%. Итоговая вероятность равна $$\frac{20!}{37^{20}}\sum\limits_{k=0}^{20}\sum\limits_{m=\max(0,12-2k)}^{20-k}\frac{2^k12^m23^{20-k-m}}{k!m!(20-k-m)!}\approx0,1425.$$

ссылка

отвечен 16 Сен 19:08

изменен 16 Сен 19:09

А если будет еще одна условия. Если за 20 ходов не получилось набрать 12 очков. То какая вероятность что еще за 5 ходов можно набрать 12 очков, я то есть за 25 ходов в общем

(16 Сен 19:22) Аман

@Аман: если речь о задаче про 25 ходов вместо 20, то она решается аналогично. Если же это задача с учётом ограничения, что за 20 ходов мы требуемого числа очков не набрали (то есть найти надо условную вероятность), то это более сложная задача. Решается она примерно теми же средствами (и тоже на компьютере), но для её обсуждения лучше завести отдельный вопрос, со ссылкой на этот.

(16 Сен 19:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,129

задан
16 Сен 14:49

показан
59 раз

обновлен
16 Сен 19:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru