|
Вчера мне попалась довольно интересная геометрическая задача. Захотелось предложить её здесь. Предупреждаю, что в условии имеются некоторые "подводные камни". Дан треугольник $%ABC$%, в котором проведены отрезки биссектрис $%AA_1$%, $%BB_1$%, $%CC_1$% (точки $%A_1$%, $%B_1$%, $%C_1$% лежат на соответствующих сторонах). Известно, что угол при вершине $%A$% составляет $%120^\circ$%. Какие значения может принимать площадь треугольника $%A_1B_1C_1$%, если длины двух сторон этого треугольника равны $%4$% и $%5$%? задан 21 Апр '13 14:36 
falcao |
|
Не трудно убедится, что $%B_1$% и $%C_1$% являются центрами вневписанных окружностей треугольников $%AA_1B$% и $%AA_1C,$% значит $%A_1B_1$% и $%A_1C_1$% биссектрисы смежных углов $%BA_1A$% и $%CA_1A$%. Отсюда следует, что $%\angle B_1A_1C_1=90^0.$% По условию две стороны этого прямоугольного треугольника равни 4 и 5, значит этот треугольник не может быть равнобоким треугольником.Отсюда следует что $%AB\ne AC.$% Обозначим $%\angle ACB=\gamma, \angle ABC=\beta.$% Пусть $%AC>AB \Rightarrow \gamma< \beta.$% Заметим, что $% 30^0<\beta<60^0 \Rightarrow 15^0<\frac{\beta}2<30^0 \Rightarrow $% $% 2-\sqrt3< tg\frac{\beta}2<\frac{\sqrt3}3 $% $%\angle AA_1B=60^0+\gamma, \angle AA_1C=60^0+\beta \Rightarrow \angle AA_1C_1=\angle BA_1C_1=30^0+\frac{\gamma}2,$% $%\angle AA_1B_1=\angle CA_1B_1=30^0+\frac{\beta}2.$% $%\angle A_1B_1A=90^0-\frac{\beta}2, \angle A_1C_1A=90^0-\frac{\gamma}2.$% Согласно теореме синусов из треугольников $%A_1B_1A$% и $%A_1C_1A$%,получаем $%A_1B_1=\frac{AA_1\sqrt3}{2cos\frac{\beta}2},A_1C_1=\frac{AA_1\sqrt3}{2cos\frac{\gamma}2}.$% Ясно, что $%A_1B_1>A_1C_1.$% Отсюда $%A_1B_1cos\frac{\beta}2=A_1C_1cos\frac{\gamma}2 \Rightarrow A_1B_1cos\frac{\beta}2=A_1C_1cos(30^0-\frac{\beta}2) \Rightarrow tg\frac{\beta}2=\frac{2A_1B_1-\sqrt3A_1C_1}{A_1C_1}$% 1) Если $%A_1B_1=4, A_1C_1=3$%, то $% tg\frac{\beta}2=\frac{8-3\sqrt3}{3}>\frac{\sqrt3}3 $% 2) Если $%A_1B_1=5, A_1C_1=4$%, то $% tg\frac{\beta}2=\frac{10-4\sqrt3}{4}>\frac{\sqrt3}3 $% Следовательно треугольник удовлетворяющий условиям задачи не существует. отвечен 21 Апр '13 20:19 
ASailyan Мы не знаем сторон исходного треугольника. По условию, нам известно только то, что среди чисел $%A_1B_1$%, $%A_1C_1$%, $%B_1C_1$% есть 4 и 5. Если продолжить начатые Вами вычисления, то можно выразить через $%a$%, $%b$%, $%c$% длины сторон треугольника $%A_1B_1C_1$%. Из этого, возможно, удастся извлечь какие-то нужные следствия.
(21 Апр '13 20:46)
falcao
Да, всё именно так! Отношение сторон $%A_1B_1:A_1C_1$% должно быть меньше, чем $%2/\sqrt{3}$%. Скорее всего, авторы задачи этого не предусмотрели.
(24 Апр '13 1:18)
falcao
А нельзя здесь как-то "плясать" от меньшего треугольника и пытаться построить больший?
(24 Апр '13 2:23)
DocentI
@DocentI: Там ограничения сильные на отношение сторон. Я-то когда эту задачу решал (её в ЖЖ кто-то предложил), то установил, что угол прямой, а потом, думаю, дай осуществлю построение. А потом оказалось, что там ничего не строится. И я стал тогда через теорему синусов искать ограничение. Результат меня удивил. Я ожидал, что отношение $%5:4$% может не подойти, а $%4:3$% всяко подойдёт. Выяснилось, что нет -- там границей является отношение $%2$% к $%\sqrt{3}$%.
(24 Апр '13 3:21)
falcao
|
|
Треугольник А1B1C1 - прямоугольный( А1 - прямой угол, поэтому площадь его может быть равна 10( когда 5 и 4 катеты) или 6 ( когда 5 гипотенуза) . Точки С1 и В1 - точки пересечения биссектрис, одного внутреннего угла и двух внешних треугольников АА1B и АА1C отвечен 21 Апр '13 20:22 
epimkin Это важное соображение: угол $%A_1$% оказывается прямым по указанной причине. Но это как бы общая часть, после которой хочется сказать, что площадь равна 10 или 6. Осталось найти "подводные камни"! :)
(21 Апр '13 20:43)
falcao
Угол А1C1C = 30 град
(21 Апр '13 22:36)
epimkin
Утверждение насчёт угла верно, но что это даёт?
(21 Апр '13 22:45)
falcao
Ничего не дало. Взял этот треугольник с известным еще этим углом, взял гипотенузу равной пяти , потом катет , равным пяти и все вроде подходит. Думаю ограничения есть на углы большого треугольника: например, ни один из его углов не может быть равным 30 град. Верней , если один равен 30, то и второй тоже
(21 Апр '13 23:15)
epimkin
А что значит подходит? Проверялось ли при этом то, что если гипотенуза равна 5, то катет может быть равен 4 -- с соблюдением всех условий задачи?
(21 Апр '13 23:22)
falcao
|
|
Площадь искомого треугольника $%S_{\triangle A_1B_1C_1}=S_{\triangle ABC}-(S_{\triangle AB_1C_1}+S_{\triangle BA_1C_1}+S_{\triangle CA_1B_1}).$% Пусть $%\angle C=x,$% тогда площади треугольников (в скобках) можно выразить через $%x$% и длины отрезков $%AB_1;\quad AC_1;....$% Далее нужно рассмотреть варианты с длинами сторон, и возможными при этом значениях угла $%x$%. Вот здесь и нужно искать "подводные камни". отвечен 21 Апр '13 19:05 
Anatoliy А как при этом учитывается, что угол при вершине $%A$% равен 120 градусам?
(21 Апр '13 19:28)
falcao
Там второй угол $%y$% будет выражаться через угол $%x$%, $%x+y=60^o$%. Это дает возможность оценивать значения для угла $%x,$% в зависимости от того, какие стороны имеют длины 4 и 5.
(21 Апр '13 19:55)
Anatoliy
Вообще говоря, такой подход возможен: фиксируем две стороны, третья сразу выражается по теореме косинусов, и через эти два параметра выражаются все остальные длины, углы и прочее. Не знаю, правда, насколько этот план реализуем в смысле отсутствия слишком громоздких выкладок. Но каков будет сам ответ? В этом как бы "интрига".
(21 Апр '13 20:05)
falcao
Можно применять и теорему синусов. Это понятно, что здесь главное "интрига" (как и в любой задаче). Я так понял, имеется и другой вариант решения. Задача очень интересная, и заслуживает того, чтобы о ней помнили.
(21 Апр '13 20:17)
Anatoliy
Да, тут любые сведения можно применять, относящиеся к геометрии треугольника. Теорема синусов существенно используется в важной части решения.
(21 Апр '13 20:48)
falcao
|