Докажите, что всякое измеримое множество на прямой есть объединение борелевского множества и множества меры 0.

задан 20 Сен '18 22:10

Такие вещи лучше обсуждать с учётом того, как определялось измеримое множество на прямой.

(20 Сен '18 22:15) falcao

Определение через внешнюю меру

(20 Сен '18 22:18) Matrix

@Matrix: а точнее? Какими именно множествами разрешено приближать сверху измеримое множество?

Полезно воспроизвести серию определений (пусть и кратко) потому что если это не сделать, то в объяснении многое придётся повторять с самого начала, включая обозначения.

(20 Сен '18 22:25) falcao

@falcao, $%А\in E$%, где E -- класс элементарных множеств. X измеримо тогда и только тогда, когда существует $%А\in E$% такое, что $%\mu(A \Delta X)<\delta$%, где $%\mu$% -- внешняя мера.

(20 Сен '18 22:34) Matrix
10|600 символов нужно символов осталось
0

@Matrix: имеется в виду, для любого delta > 0.

Берём delta вида 1/k, и элементарные множества A(k). Покроем симметрическую разность множеств X и A(k) системой отрезков (не более чем счётной), сумма длин которых меньше 1/k -- это возможно по определению внешней меры. Удалим это множество из A(k). Получится борелевское множество X(k), содержащееся в X. Берём объединение всех X(k) по k>=1. Оно борелевское, и содержится в X. Его дополнение имеет меру 0, так как для любого k содержится в множестве, имеющем внешнюю меру < 1/k.

ссылка

отвечен 20 Сен '18 23:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,122

задан
20 Сен '18 22:10

показан
213 раз

обновлен
20 Сен '18 23:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru