Здравствуйте, у меня ест теорема. Помогите найти точное доказательство в интернете, опирающийся на конкретную книгу.

Теорема звучит так: A - подмножество X, тогда [X] (замыкание) = {x из X: p(x, A) = 0} где p(x, A) - расстояние от точки до множества

задан 21 Апр '13 17:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь всё легко следует из основных определений, поэтому проще изложить доказательство вместо поиска ответа в литературе.

Дано метрическое пространство $%(X,d)$%, где $%X$% -- множество, а $%d$% -- функция расстояния. Пусть $%A\subseteq X$% -- подмножество. Его замыканием, обозначаемым $%[A]$%, называется наименьшее замкнутое множество, содержащее $%A$%. Это определение корректно, так как $%X$% является примером замкнутого множества, содержащего $%A$%, а пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.

Расстоянием от точки $%x\in X$% до непустого множества $%A$% называется точная нижняя грань множества действительных чисел вида $%d(x,a)$%, где $%a$% пробегает $%A$%. Это множество чисел непусто и ограничено снизу, поэтому точная нижняя грань существует и единственна. Если $%A$% пусто, то расстояние от любой точки до $%A$% можно условно считать равным бесконечности.

Требуется доказать, что замыкание любого подмножества $%A\subseteq X$% совпадает с множеством точек метрического пространства, находящихся на нулевом расстоянии от $%A$%. Доказательство разбивается на две части.

1) Пусть точка $%x$% принадлежит $%[A]$%. Надо доказать, что расстояние от $%x$% до $%A$% равно нулю. Прежде всего, $%A$% непусто, так как у пустого множества замыкание пустое, и ему точка $%x$% принадлежать не может. Рассуждая от противного, предположим, что расстояние от $%x$% до $%A$% не равно нулю. Тогда оно положительно и равно какому-то числу $%\varepsilon > 0$%. Будучи (точной) нижней гранью множества чисел вида $%d(x,a)$%, где $%a\in A$%, это число удовлетворяет неравенству $%\varepsilon\le d(x,a)$% для всех $%a\in A$%. Это значит, что никакая точка $%a\in A$% не принадлежит открытому шару с центром $%x$% радиусом $%\varepsilon$%. Такой шар является открытым множеством, а потому его дополнение замкнуто. Этому дополнению принадлежит каждая точка из $%A$%, то есть $%A$% целиком содержится в этом замкнутом множестве. Тогда это множество обязано содержать замыкание множества $%A$%, согласно определению. Но в этом замыкании есть точка $%x$% -- центр рассматриваемого шара. Получили противоречие с тем, что $%[A]$% содержится в дополнении шара.

2) Предположим теперь, что точка $%x\in X$% находится на нулевом расстоянии от множества $%A$%, и докажем, что она принадлежит $%[A]$%. Снова рассуждаем от противного: если $%x$% не принадлежит замкнутому множеству $%[A]$%, то $%x$% принадлежит его дополнению, являющемуся открытым. Это значит, что для некоторого положительного $%\varepsilon$% открытый шар с центром $%x$% с таким радиусом целиком будет содержаться в нашем открытом множестве, не имея общих точек с $%[A]$%, а потому и с $%A$%. Следовательно, каждая точка $%a\in A$% не принадлежит открытому шару с центром $%x$% радиуса $%\varepsilon$%, что равносильно выполнению условия $%d(x,a)\ge\varepsilon$%. Поскольку это неравенство верно для всех $%a\in A$%, то и точная нижняя грань множества всех чисел этого вида не меньше $%\varepsilon$%. Получается, что расстояние от $%x$% до $%A$% не меньше $%\varepsilon$%, то есть положительно. Это противоречит условию, что расстояние является нулевым. Тем самым, обе части утверждения доказаны.

ссылка

отвечен 21 Апр '13 18:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Пользуйтесь редактором формул

2) Проверьте, пожалуйста, условие. Здесь довольно легко подобрать контрпример.

Пусть $%X=[0,5]$%, а $%A=(0,1)$%. Очевидно, что $%[X]=X$%, но $%\rho(5,A)=\inf\limits_{x\in A} \rho(5,x)=4\neq0$%

При этом, если заменить в условии задачи $%X$% на $%A$%, то это утверждение становится верным в обе стороны.

Действительно, пусть $%x\in[A]=A\cup\partial A, \partial A-$% множество предельных точек. Если $%x \in A$%, то равенство нулю расстояния очевидна.

Пусть $%x \in \partial A$%. Тогда $%\exists x_n: x_n\to x$%, а $%\rho(x_n,A) $% образуют числовую последовательность $%0,0,0,...$%, которая, с одной стороны, стремится $%\rho(x,A)$%, а с другой стороны, - к 0. Поэтому $%\rho(x,A)=0$%.

Пусть теперь, $%\rho(x,A)=0$%. Очевидно, что величины $%x\in A$% удовлетворяют этому равенству. По приведённым выше рассуждениям ему же удовлетворяют и предельные точки. Предположим, что $%y\not\in[A]$%, но равенство выполнено.Это означает, что $%\inf\limits_{x\in A} \rho(y,x)=0$%. Это означает, что y может сколь угодо близко быть приближена к x по свойству инфинума, то есть должн апринадлежать замыканию, что вызывает противоречие.

ссылка

отвечен 21 Апр '13 17:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×365

задан
21 Апр '13 17:00

показан
1772 раза

обновлен
21 Апр '13 18:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru