анализ - Теорема о замыкании множества в МП

Здесь всё легко следует из основных определений, поэтому проще изложить доказательство вместо поиска ответа в литературе.

Дано метрическое пространство $%(X,d)$%, где $%X$% -- множество, а $%d$% -- функция расстояния. Пусть $%A\subseteq X$% -- подмножество. Его замыканием, обозначаемым $%[A]$%, называется наименьшее замкнутое множество, содержащее $%A$%. Это определение корректно, так как $%X$% является примером замкнутого множества, содержащего $%A$%, а пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.

Расстоянием от точки $%x\in X$% до непустого множества $%A$% называется точная нижняя грань множества действительных чисел вида $%d(x,a)$%, где $%a$% пробегает $%A$%. Это множество чисел непусто и ограничено снизу, поэтому точная нижняя грань существует и единственна. Если $%A$% пусто, то расстояние от любой точки до $%A$% можно условно считать равным бесконечности.

Требуется доказать, что замыкание любого подмножества $%A\subseteq X$% совпадает с множеством точек метрического пространства, находящихся на нулевом расстоянии от $%A$%. Доказательство разбивается на две части.

1) Пусть точка $%x$% принадлежит $%[A]$%. Надо доказать, что расстояние от $%x$% до $%A$% равно нулю. Прежде всего, $%A$% непусто, так как у пустого множества замыкание пустое, и ему точка $%x$% принадлежать не может. Рассуждая от противного, предположим, что расстояние от $%x$% до $%A$% не равно нулю. Тогда оно положительно и равно какому-то числу $%\varepsilon > 0$%. Будучи (точной) нижней гранью множества чисел вида $%d(x,a)$%, где $%a\in A$%, это число удовлетворяет неравенству $%\varepsilon\le d(x,a)$% для всех $%a\in A$%. Это значит, что никакая точка $%a\in A$% не принадлежит открытому шару с центром $%x$% радиусом $%\varepsilon$%. Такой шар является открытым множеством, а потому его дополнение замкнуто. Этому дополнению принадлежит каждая точка из $%A$%, то есть $%A$% целиком содержится в этом замкнутом множестве. Тогда это множество обязано содержать замыкание множества $%A$%, согласно определению. Но в этом замыкании есть точка $%x$% -- центр рассматриваемого шара. Получили противоречие с тем, что $%[A]$% содержится в дополнении шара.

2) Предположим теперь, что точка $%x\in X$% находится на нулевом расстоянии от множества $%A$%, и докажем, что она принадлежит $%[A]$%. Снова рассуждаем от противного: если $%x$% не принадлежит замкнутому множеству $%[A]$%, то $%x$% принадлежит его дополнению, являющемуся открытым. Это значит, что для некоторого положительного $%\varepsilon$% открытый шар с центром $%x$% с таким радиусом целиком будет содержаться в нашем открытом множестве, не имея общих точек с $%[A]$%, а потому и с $%A$%. Следовательно, каждая точка $%a\in A$% не принадлежит открытому шару с центром $%x$% радиуса $%\varepsilon$%, что равносильно выполнению условия $%d(x,a)\ge\varepsilon$%. Поскольку это неравенство верно для всех $%a\in A$%, то и точная нижняя грань множества всех чисел этого вида не меньше $%\varepsilon$%. Получается, что расстояние от $%x$% до $%A$% не меньше $%\varepsilon$%, то есть положительно. Это противоречит условию, что расстояние является нулевым. Тем самым, обе части утверждения доказаны.