3
1

Доказать, что набор, состоящий из подмножеств натуральных чисел N не содержащих сколь угодно длинных арифметических прогрессий задаёт набор замкнутых множеств некоторой топологии на N.

задан 26 Сен '18 18:37

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь нужна небольшая оговорка на предмет того, что N тоже считается замкнутым.

Проверить достаточно то, что объединение двух множеств A и B, каждое из которых не содержит сколь угодно длинных а.п., обладает тем же свойством. Для начала рассмотрим ограничение на длину а.п. для каждого из множеств. Пусть m -- максимум этих длин, то есть ни A, ни B не содержит а.п. длины > m.

Применим известную теорему ван дер Вардена об арифметических прогрессиях. Исходная постановка задачи следующая (см. брошюру Хинчина "Три жемчужины теории чисел", где приведено доказательство). Дано число s; требуется показать, что существует N=N(s) такое, что если числа 1, 2, ... , N произвольным образом раскрасить в два цвета, то найдется а.п. длиной s, все числа которой раскрашены в один и то же цвет.

Пользуясь теоремой, выберем число N=N(m+1). Проверим, что в A U B не имеется а.п. из N членов. Допуская противное, считаем, что такая прогрессия вида dn+c имеется, где 1<=n<=N. Число n раскрасим в первый цвет, если dn+c принадлежит A. Если это не так, то dn+c принадлежит B, и тогда раскрашиваем n во второй цвет.

По теореме, найдётся а.п. длиной m+1 среди чисел первого или второго цвета. Отображение n->dn+c, будучи линейным, переводит а.п. в а.п. Если нашлась прогрессия из чисел первого цвета, это даёт а.п. длиной > m в A. Если второго цвета, то в B. Противоречие.

ссылка

отвечен 26 Сен '18 20:54

@falcao, извините, а что здесь подразумевается под замкнутым множеством?

(27 Сен '18 4:08) YELLOW

@YELLOW: то, что сказано в условии. Множество чисел объявляется "замкнутым" (чисто условно), если оно либо всё N, либо не содержит сколь угодно длинных арифметических прогрессий. Доказать надо то, что набор таких множеств удовлетворяет аксиомам топологического пространства.

(27 Сен '18 4:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×304

задан
26 Сен '18 18:37

показан
235 раз

обновлен
27 Сен '18 4:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru