Найти промежуток существования решений дифф уравнения.

  • y'=x^2+y^2 если (x0=0 и y0=0).
  • |x|≤h -? h≥ 1/(2^(1/3))

https://yadi.sk/i/EV-yWZU18ROEnQ

задан 28 Сен '18 18:11

изменен 28 Сен '18 18:11

ну, вроде $%h=\frac{1}{\sqrt{2}}$% можно получить...

(28 Сен '18 19:16) all_exist

можно по подробнее, пожалуйста

(28 Сен '18 19:48) Kuten
1

Возьмите пятый том Антидемидовича... и посмотрите пример 201 на стр. 85-88...

Если я не ошибся, то в Вашем примере из теоремы Пикара следует указанная выше оценка... А если применить лемму Бихари, то $%h=\sqrt{3}$%...

(28 Сен '18 19:53) all_exist

@all_exist: а какие там методы применяются? Я с этим типом уравнений вообще не знаком. Решил численно в Maple -- там через функции Бесселя решение выражается, и асимптота там x=2. Видимо, это точное значение. Интересно, как это доказывается?

(28 Сен '18 22:29) falcao

@falcao, это уравнение Риккати (вроде как специальное)... в каких-то частных случаях оно интегрируется явно... но этот пример не из их числа...

Вообще-то странно... вольфрам выдаёт решение... на math24 пишут, что При всех других значениях степени n решение уравнения Риккати можно выразить через интегралы от элементарных функций. Этот факт был установлен французским математиком Джозефом Лиувиллем в 1841 году.... А у Камке написано, что Лиувилль доказал, что "в остальных случаях решение не сводится к квадратурам и не может быть выражено в конечном виде через элементарные функции"...

(28 Сен '18 23:01) all_exist

@falcao, асимптота там x=2. Видимо, это точное значение. Интересно, как это доказывается? - я придерживаясь мнения, что решения тут явно не найти ... видимо по этому и дано такое уравнение, чтобы сделали оценку из теоретических соображений, а не из явного вида решения...

(28 Сен '18 23:22) all_exist

@all_exist: решения в элементарных функциях нет, но есть выражение через функции Бесселя, про которые многое известно. Трудно поверить в то, что при наличии асимптоты x=2, нет теоретического доказательства этого факта. Правда, точное значение может получаться сложно, поэтому и предлагаются оценки. Кстати, там степенной ряд довольно интересный получается.

Я в этой области совсем не специализируюсь, но она мне интересна (в отличие, скажем, от дифференциальной геометрии).

(29 Сен '18 0:23) falcao

Не могу понять, откуда взялась эта формула. Помогите разобраться. https://yadi.sk/i/mJirFHhbj3fd4w

(29 Сен '18 4:12) Kuten
1

@Kuten: для G(u) дана явная формула. Решили уравнение G(u)=t относительно u. Этим нашли значение обратной функции u=G^{-1}(t).

(29 Сен '18 4:37) falcao

@all_exist: Как вы получили ответ sqrt(3)? Мой ответ sqrt(sqrt(3)). https://yadi.sk/i/Q1OymNBrX626MA

(29 Сен '18 11:49) Kuten

@Kuten, я решал почти "на коленке", поэтому мог ошибиться...

@falcao, Трудно поверить в то, что при наличии асимптоты x=2, нет теоретического доказательства этого факта. - не интересовался этим вопросом... тут наверняка есть зависимость от начальных данных... но это лишь мои догадки...

(29 Сен '18 18:45) all_exist

@falcao, кстати, вольфрам даёт достаточно странное решение... то есть решение задачи Коши он не выдаёт... а если просишь общее решение, то (насколько я могу судить о функциях Бесселя) выдаёт неограниченное решение в нуле...

странно всё это...

(29 Сен '18 18:52) all_exist

@all_exist: я смотрел на Вольфраме тоже, и там было что-то не вполне ясное. Но Maple выдал ответ через функции Бесселя в общем виде. Начальные условия были при этом не учтены, но я из формы ответа нашёл значение константы, при котором y(0)=0. И там график чётко имеет асимптоту x=2. Поэтому стало интересно.

Я где-то встречал способы решения типа того, что рассматривается ДУ для обратной функции, и там делается оценка на значения функции сверху. Ещё, кстати, при помощи изоклин получается какая-то довольно ясная картина, но это на уровне "эмпирики".

(29 Сен '18 19:17) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,287
×1,187
×109

задан
28 Сен '18 18:11

показан
516 раз

обновлен
29 Сен '18 19:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru