Незнайка утверждает, что знает некое секретное число. Это такое натуральное число, что если прибавить его к факториалу любого натурального числа, то в сумме получится составное число. Чего Незнайка не знал, так это того, что на самом деле таких секретных чисел бесконечно много (наименьшее из них равно 8). Поэтому Зайка предложил Незнайке классифицировать все секретные числа по уровню их секретности.

Итак, назовём натуральное число $%k-$%секретным, если, во-вторых, при сложении этого числа с факториалом любого натурального числа в сумме получается число, имеющее не менее $%k$% делителей; а во-первых, существует такой факториал натурального числа, что при его сложении с $%k-$%секретным числом в сумме получается число, у которого ровно $%k$% делителей.

Например, число 8 является наименьшим 3-секретным числом, а число 14 является наименьшим 4-секретным числом.

А вот найти вручную наименьшее 5-секретное число, кажется, уже не удаётся. Пожалуйста, помогите его найти! А заодно и числа более высокой секретности.

задан 1 Окт 23:53

изменен 2 Окт 0:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Число 174 имеет степень "секретности" 6. Прибавление 1! и 2! даёт числа с 6 и 10 делителями. Дальше, ввиду делимости на 6, их будет ещё больше (как минимум, 8). Все числа, меньшие 174, имеют "секретность" не больше 4. А следующими обладателями шести "звёздочек" будут 244, 284, 350 и 368.

Заслуживает также внимания число 664 с восемью "звёздочками". Оно наименьшее среди таких. Далее идут 804, 824 и 944.

Со степенью "секретности" 5 всё и проще, и сложнее. Сложнее потому, что такие числа есть, но они большие, и прямым перебором до них дойти трудновато. А проще потому, что в сумме с некоторым факториалом они дают 4-ю степень простого. Перебор по такому принципу приводит к конкретному примеру 19^4-1=130320. Правда, минимальность отсюда пока не следует, так как теоретически могут быть числа вида p^4-k! с большими p, где сама разность меньше.

Этим же методом находится число 5^6-1=15624 со степенью "секретности" 7. Скорее всего, оно наименьшее, но это надо доказывать.

В заключение отмечу, что существуют числа со сколь угодно высокой степенью "секретности", что следует из китайской теоремы об остатках. Если число делится на n!, то при сложении с факториалами чисел >=n, делителей можно гарантировать много, а для конечного списка небольших факториалов, можно по КТО добиться того, чтобы начальные числа делились на какие-то высокие степени различных простых.

ссылка

отвечен 2 Окт 1:57

@falcao, супер! Огромное Вам спасибо!

(2 Окт 2:27) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×798
×671
×202
×4
×3

задан
1 Окт 23:53

показан
73 раза

обновлен
2 Окт 2:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru