интегралы - Тройной интеграл

У Вас в условии как этой задачи, так и другой задачи с тройными интегралом, не хватает дифференциалов, то есть надо дописать или $%dV$%, или $%dx\,dy\,dz$%.

Этот интеграл равен нулю из соображений чётности - нечётности функции. Здесь $%y$% меняется от $%-a$% до $%a$%, и при смене знака у $%y$% подынтегральная функция меняет знак. Фактически, мы интегрируем некоторую нечётную функцию от $%y$% по отрезку $%[-a,a]$%, и тогда без вычислений понятно, что интеграл равен нулю.

Добавление. С учётом добавленного неравенства $%y\ge0$% получается следующее. Прежде всего, можно сделать замены вида $%x\mapsto ax$%, $%y\mapsto ay$%, $%z\mapsto az$%, и в итоге $%a$% исчезнет из всех выражений, превратившись в единицу.

Далее, рассматриваем $%u=x^2$%, $%v=y^2$%, $%w=z^2$% как отдельные переменные. Тогда $%x\,dx$% превращается в $%d(x^2)/2$% и т.п., и перед интегралом появляется множитель $%1/8$%. Условия принимают вид $%u+v\le1$%, $%v+w\le 1$%. Удобно тогда заменить $%u$% на $%u+v$% и $%w$% на $%v+w$%. Дифференциалы при этом не изменятся, а сумма $%1+x^2+y^2+z^2$% из знаменателя станет равна $%1+(u+v)-v+(v+w)$%. Таким образом, переобозначая $%u+v$% и $%v+w$% в виде новых $%u$%, $%w$%, чтобы не заводить слишком много обозначений, имеем тройной интеграл от функции $%1/(1+u-v+w)^3$% по области $%0\le u\le1$%, $%0\le w\le1$%, и при этом $%v\le u,w$% (так как это бывшие $%u+v$% и $%v+w$%, а значения переменных у нас неотрицательны). Есть также множитель $%1/8$% перед интегралом.
Всё вместе имеет вид $$\frac18\int\limits_0^1dv\int\limits_v^1du\int\limits_v^1\frac{dw}{(1+u-v+w)^3}.$$

Интегралы здесь вычисляются просто, и в ответе действительно получается $%(\ln 3-1)/16$% (я проверил).