$$\int \int \int \frac{xyz}{(a^2+x^2+y^2+z^2)^3}$$ по области G $$G = {x^2+y^2\leq a^2,y^2+z^2 \leq a^2,x\geq 0, y \geq 0, z\geq 0 }$$

задан 23 Апр '13 18:04

изменен 23 Апр '13 20:43

10|600 символов нужно символов осталось
0

У Вас в условии как этой задачи, так и другой задачи с тройными интегралом, не хватает дифференциалов, то есть надо дописать или $%dV$%, или $%dx\,dy\,dz$%.

Этот интеграл равен нулю из соображений чётности - нечётности функции. Здесь $%y$% меняется от $%-a$% до $%a$%, и при смене знака у $%y$% подынтегральная функция меняет знак. Фактически, мы интегрируем некоторую нечётную функцию от $%y$% по отрезку $%[-a,a]$%, и тогда без вычислений понятно, что интеграл равен нулю.

Добавление. С учётом добавленного неравенства $%y\ge0$% получается следующее. Прежде всего, можно сделать замены вида $%x\mapsto ax$%, $%y\mapsto ay$%, $%z\mapsto az$%, и в итоге $%a$% исчезнет из всех выражений, превратившись в единицу.

Далее, рассматриваем $%u=x^2$%, $%v=y^2$%, $%w=z^2$% как отдельные переменные. Тогда $%x\,dx$% превращается в $%d(x^2)/2$% и т.п., и перед интегралом появляется множитель $%1/8$%. Условия принимают вид $%u+v\le1$%, $%v+w\le 1$%. Удобно тогда заменить $%u$% на $%u+v$% и $%w$% на $%v+w$%. Дифференциалы при этом не изменятся, а сумма $%1+x^2+y^2+z^2$% из знаменателя станет равна $%1+(u+v)-v+(v+w)$%. Таким образом, переобозначая $%u+v$% и $%v+w$% в виде новых $%u$%, $%w$%, чтобы не заводить слишком много обозначений, имеем тройной интеграл от функции $%1/(1+u-v+w)^3$% по области $%0\le u\le1$%, $%0\le w\le1$%, и при этом $%v\le u,w$% (так как это бывшие $%u+v$% и $%v+w$%, а значения переменных у нас неотрицательны). Есть также множитель $%1/8$% перед интегралом.
Всё вместе имеет вид $$\frac18\int\limits_0^1dv\int\limits_v^1du\int\limits_v^1\frac{dw}{(1+u-v+w)^3}.$$

Интегралы здесь вычисляются просто, и в ответе действительно получается $%(\ln 3-1)/16$% (я проверил).

ссылка

отвечен 23 Апр '13 20:09

изменен 23 Апр '13 23:25

да , забыл дифференциалы $$dxdydz$$ есть ответ $$(ln3-1)/16$$ и ещё забыл указать в условии, что $$y \geq 0$$

(23 Апр '13 20:42) s1ny

Если ещё есть неравенство $%y\ge0$%, то всё, конечно, меняется. Тогда, если требовать полной симметрии, нет ли ещё и неравенства $%x^2+z^2\le a^2$%?

(23 Апр '13 21:01) falcao

нету, точно

(23 Апр '13 21:02) s1ny

Я проверил ответ -- действительно получается то, что Вы указали. Сейчас напишу добавление.

(23 Апр '13 21:13) falcao

только почему нижние пределы $$du$$ и $$dw$$ $$b$$, а не 0?

(23 Апр '13 23:19) s1ny

Там вместо $%b$% должно быть $%v$% -- я сейчас заменю. Это у меня были другие буквы, когда я писал на листочке. Но нижний предел там должен быть $%v$% ввиду неравенств $%v\le u,w$%, которые я отметил.

(23 Апр '13 23:24) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,282

задан
23 Апр '13 18:04

показан
1127 раз

обновлен
23 Апр '13 23:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru