$$\int \int \int xyz$$ по области G $$ G = x < yz < 2x,y < zx < 2y,z < xy < 2z$$

задан 23 Апр '13 18:10

изменен 23 Апр '13 22:04

Angry%20Bird's gravatar image


9125

10|600 символов нужно символов осталось
0

У меня получился ответ $%27/32$%. Это говорит о том, что здесь, скорее всего, имеется какое-то элегантное решение. Но я исходил из прямых вычислений.

Прежде всего, из неравенств, задающих область, следует, что все числа $%x,y,z$% положительны. Область можно разбить на две, рассмотрев дополнительные условия $%x < y$% и $%y < x$%. Из соображений симметрии следует, что интегралы по каждой из областей равны. Поэтому добавим первое из условий, найдём интеграл по получившейся области, а в конце удвоим результат.

Неравенства можно переписать в таком виде, обособляя $%z$%:

$$\frac{x}{y} < z < \frac{2x}y$$

$$\frac{y}x < z < \frac{2y}x$$

$$\frac{xy}2 < z < xy$$

С учётом того, что мы добавили условие $%x < y$%, получается, что $%z$% больше каждого из чисел $%y/x$%, $%xy/2$% и меньше каждого из чисел $%2x/y$%, $%xy$%. Рассмотрим далее три случая -- в зависимости от расположения числа $%\sqrt{2}$% относительно $%x$% и $%y$%, обозначая соответствующие интегралы через $%I_1$%, $%I_2$%, $%I_3$%.

1) $%\sqrt{2} < x < y$%. В этом случае $%y/x < xy/2$% и $%2x/y < xy$%. Поэтому имеем одно двойное неравенство для $%z$%, а именно $%xy/2 < z <2x/y$%. Из этого следует, что $%y < 2$%. Это задаёт пределы интегрирования, и тройной интеграл сводится к следующему повторному: $$I_1=\int\limits_{\sqrt{2}}^2x\,dx\int\limits_x^2y\,dy\int\limits_{xy/2}^{2x/y}z\,dz=15/16-\ln 2.$$

(Рутинные вычисления я здесь и далее опускаю.)

2) $%x < \sqrt{2} < y$%. Здесь $%z$% удовлетворяет двойному неравенству $%y/x < z <2x/y$%, откуда $%y < x\sqrt{2}$% и потому $%1 < x$%. Это приводит к интегралу $$I_2=\int\limits_1^{\sqrt{2}}x\,dx\int\limits_{\sqrt{2}}^{x\sqrt{2}}y\,dy\int\limits_{y/x}^{2x/y}z\,dz=-\frac34+\frac54\ln 2.$$

3) $%x < y < \sqrt{2}$%. Теперь $%z$% удовлетворяет двойному неравенству $%y/x < z < xy$%, откуда $%1 < x$%. Получается интеграл$$I_3=\int\limits_1^{\sqrt{2}}x\,dx\int\limits_x^{\sqrt{2}}y\,dy\int\limits_{y/x}^{xy}z\,dz=\frac{15}{64}-\frac14\ln 2.$$

Отсюда имеем окончательный ответ для интеграла из условия: $%I=2(I_1+I_2+I_3)=27/32$%.

ссылка

отвечен 23 Апр '13 20:00

10|600 символов нужно символов осталось
2

Может, попробовать взять за новые переменные $%u={yz\over x}, v={zx\over y},w={xy\over z}$%. Эти переменные меняются от 1 до 2. Подынтегральная функция примет вид $%uvw$%.

Осталось найти якобиан, который будет мультипликативной функцией от переменных. Собственно, даже константой. Так как $%{D(u,v,w)\over D(x,y,z)}=4$%.

ссылка

отвечен 23 Апр '13 20:42

изменен 23 Апр '13 20:47

О! Так получается намного быстрее. Обратные выражения выглядят просто: $%x=\sqrt{vw}$% и т.п.; якобиан замены легко считается, и он равен $%1/4$%. Далее получается куб интеграла $%\int_1^2u\,du$%, равного $%3/2$%. То есть в ответе будет $%(1/4)(3/2)^3=27/32$%, как и было выше. А я думал на какую-то теоретико-вероятностную интерпретацию -- возможно, её тоже можно придумать.

(23 Апр '13 20:57) falcao

Здесь можно и не решать уравнения. $%{D(x,y,z)\over D(u,v,w)}=\frac{1}{D(u,v,w)\over D(x,y,z)}=\frac14$%

(24 Апр '13 0:52) DocentI

Тот якобиан, который здесь нужен, и который равен $%1/4$%, вычисляется чуть проще того, который равен $%4$%. Там у определителя только две ненулевые "молнии", и его даже не нужно преобразовывать.

(24 Апр '13 1:06) falcao

Может быть. Я решала в уме и мне проще было работать с теми выражениями, которые перед глазами. С корнями я бы без бумажки не управилась...

(24 Апр '13 2:25) DocentI

@DocentI: А как Вы смогли вычислить якобиан в уме? Я такого рода вещи люблю иногда проделывать, но в данном случае выписал матрицу Якоби, применил к ней два раза гауссово преобразование, и потом у меня получился определитель $%4$%. А какие вычисления делали Вы ?

(24 Апр '13 3:16) falcao

Все то же самое, только без бумаги. Там в каждой строке выносится одна переменная (от которой берут производную), а оставшиеся части имеют вид (-1/x, 1/y, 1/z) и т.д, меняется только положение минуса. Ну, а теперь прибавляем первую строку к двум следующим - почти все обнуляется.

(24 Апр '13 10:38) DocentI
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×923

задан
23 Апр '13 18:10

показан
666 раз

обновлен
24 Апр '13 10:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru