Добрый день! Помогите, пожалуйста, разобраться с построением фактор кольца (5, x)/(x). (5, x) и (x) - идеалы Z[x]. Заранее спасибо!

задан 4 Окт '18 20:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассуждая неформально, если мы факторизуем по идеалу (x), то это означает, что элемент x полагается равным нулю. Тогда от (5,x) остаётся (5), что даёт кольцо 5Z.

Теперь то же самое формально: элементы идеала (5,x) в Z[x] состоят в точности из многочленов, у которых свободный член нацело делится на 5. Каждому многочлену f(x) сопоставим его свободный член f(0). Очевидно, что этим задаётся гомоморфизм колец из Z[x] в Z. Мы рассматриваем его ограничение на идеал (5,x). Понятно, что образ идеала лежит в 5Z, и такое отображение сюръективно, так как число 5k имеет прообраз в виде многочлена 5k из этого идеала. Далее, ядро состоит из многочленов, для которых f(0)=0, а это в точности все многочлены, делящиеся на x. Они образуют идеал (x), содержащийся в (5,x). Осталось применить теорему о гомоморфизмах колец, получая, что (5,x)/(x) изоморфно 5Z.

ссылка

отвечен 4 Окт '18 21:05

Огромное спасибо за помощь! Правильно ли я понимаю, что классы вычетов (элементы факторкольца) в данном случае имеют вид {5k+I} k-целое, I=(x) ? Получается, что при факторизации идеал (5, x) разбивается на непересекающиеся классы, в каждом из которых содержатся многочлены с одинаковыми свободными членами (кратными 5).

(5 Окт '18 9:24) Ольга Ларионова

@Ольга Ларионова: строго говоря, если мы рассматриваем (5,x)/(x), то элементами этого факторкольца являются классы вида a+(x), где a принадлежит (5,x). При этом верно то, что каждый из них может быть также записан в виде 5k+(x), где k целое. При разных значениях k получаются разные классы. Поэтому разбиение именно такое, и сами классы "кодируются" целыми числами, кратными 5. Всё это уже учтено в доказательстве.

(5 Окт '18 9:43) falcao

Большое спасибо!

(5 Окт '18 9:49) Ольга Ларионова
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,240
×103
×43

задан
4 Окт '18 20:49

показан
166 раз

обновлен
5 Окт '18 9:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru