Количество элементов в группе обратимых элементов кольца $$F_{7}[x]/((x^2-1)^5(x-5)^2)$$. Как решить данную задачу по фактору многочленов не очень понятно

задан 13 Окт '18 13:20

10|600 символов нужно символов осталось
0

Многочлены $%(x-1)^5$%, $%(x+1)^5$%, $%(x-5)^2$% попарно взаимно просты. Поэтому факторкольцо изоморфно прямой сумме факторколец по главным идеалам, порождённым этими многочленами в отдельности.

Ввиду того, что отображение $%x\mapsto x-\alpha$% задаёт автоморфизм кольца многочленов, факторкольца из прямой суммы с точностью до изоморфизма имеют вид $%\mathbb F_7[x]/(x^5)$%, $%\mathbb F_7[x]/(x^5)$% и $%\mathbb F_7[x]/(x^2)$%. Элемент прямого произведения обратим тогда и только тогда, когда обратимы все его компоненты. Поэтому достаточно найти число обратимых элементов в каждом из факторколец, и далее всё перемножить.

Кольцо вида $%\mathbb F_7[x]/(x^k)$% состоит из остатков от деления на многочлен степени $%k$%, то есть в нём будет $%7^k$% элементов. Среди них обратимы в точности те элементы, у которых свободные члены ненулевые. Действительно, элемент $%x$% является нильпотнентным, а потому делителем нуля, то есть он необратим, как и все ему кратные. Отсюда следует утверждение в одну из сторон. Обратно, если свободный член нулю не равен, то на него можно разделить, сводя всё к доказательству обратимости элемента вида $%1-xu$%, где $%u$% -- некоторый многочлен. Из тождества $%(1-xu)(1+xu+(xu)^2+\cdots+(xu)^{k-1})=1-x^ku^k=1$%, с учётом равенства $%x^k=0$% в факторкольце, последнее прямо вытекает.

Итого получается, что обратимых элементов в таком факторкольце будет $%6\cdot7^{k-1}$%. Для кольца из задачи это даёт $%(6\cdot7^4)^2(6\cdot7)=6^3\cdot7^9$%.

ссылка

отвечен 13 Окт '18 15:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×106
×73

задан
13 Окт '18 13:20

показан
428 раз

обновлен
13 Окт '18 15:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru