|
Положим $$\lim_{n\to\infty}X_n = L$$ Доказать что $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+.....+x_n}{n} = L$$ Возможно стоит разобрать предел по определению, но если честно не очень понятно как это доказывать задан 13 Окт '18 14:02 
Arkon |
|
Это хорошо известное упражнение. На форуме оно звучало не раз, но ссылку найти трудно, поэтому имеет смысл заново воспроизвести доказательство. Прежде всего, достаточно рассмотреть частный случай, когда $%L=0$%. После этого можно применить утверждение к последовательности $%x_n-L$%, стремящейся к нулю. Зная, что $%x_n\to0$%, выбираем натуральное $%N$% такое, что $%|x_n| < \frac{\varepsilon}2$% при $%n > N$%. При таких $%n$% можно записать неравенство $%\left|\frac{x_1+\cdots+x_n}n\right|\le\frac{|x_1+\cdots+x_N|}n+\frac{|x_{N+1}|+\cdots+|x_n|}n$%. Числитель второго слагаемого не больше $%(n-N)\frac{\varepsilon}2 < n\frac{\varepsilon}2$%, поэтому второе слагаемое меньше $%\frac{\varepsilon}2$%. Числитель первого слагаемого является константой $%C=|x_1+\cdots+x_N|$%, не зависящей от $%n$%, поэтому при $%n\to\infty$% первое слагаемое стремится к нулю, и при достаточно больших $%n$% оно меньше $%\frac{\varepsilon}2$%. Тем самым, модуль среднего арифметического при достаточно больших $%n$% оказывается меньше любого заданного $%\varepsilon > 0$%. отвечен 13 Окт '18 15:01 
falcao |
|
Утверждение является простым следствием теоремы Штольца... смотрите, например, Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления", Том 1, стр. 67-69 ... отвечен 13 Окт '18 21:40 
all_exist пардон... промазал по клавишам и не проверил...
(14 Окт '18 15:19)
all_exist
Спасибо за наводку!
(15 Окт '18 0:26)
Arkon
|
@Arkon: не следует говорить "доказать предел", поскольку предел -- это число, а не утверждение.
У В.В. Прасолова в книге есть доказательство. (Книга посвящена мат. анализу)