|
z=корень из 2у^2-х^2 в третьей степени, 2уdz/dx+xdz/dy=0 задан 24 Апр '13 19:49 
Светлана7 |
|
Дано: $%z=\sqrt{(2y^2-x^2)^3}.$% Доказать, что $$2 {y} \dfrac{\partial{z}}{\partial{x}}+x\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}}=0. \tag{1}$$ Сначала надо найти частные производные $%\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}},\;\;\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}}.$% $$\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\sqrt{(2y^2-x^2)^3} \right)=\dfrac{\partial{}}{\partial{x}}\left(2y^2-x^2\right)^\frac{3}{2} =\\ =\dfrac{3}{2}\left(2y^2-x^2\right)^{\frac{3}{2}-1}\dfrac{\partial{}}{\partial{x}}\left(2y^2-x^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(2y^2-x^2\right)^{\frac{1}{2}}(-2x)=-3x\sqrt{2y^2-x^2}.$$ Надеюсь, что с производной $%\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}}$% Вы справитесь самостоятельно. Дальше останется подставить найденные производные в $%(1)$% и проверить равенство. отвечен 24 Апр '13 20:13 
Mather Разумеется. Если $$z=\sqrt[3]{2y^2-x^2}=\left(2y^2-x^2 \right)^{\frac{1}{3}},$$ то (обратите внимание, что именно изменилось) $$\dfrac{\partial{z}}{\partial{x}}=\dfrac{\partial{}}{\partial{x}}\left(\sqrt[3]{2y^2-x^2} \right)=\dfrac{\partial{}}{\partial{x}}\left(2y^2-x^2 \right)^{\frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\left(2y^2-x^2 \right)^{\frac{1}{3}-1}(-2x)=-\dfrac{2}{3}x\left(2y^2-x^2 \right)^{-\frac{2}{3}}$$
(24 Апр '13 20:51)
Mather
Да, правильно: $%\dfrac{\partial{z}}{\partial{y}}=\dfrac{4}{3}y\left(2y^2-x^2 \right)^{-\frac{2}{3}}.$%
(24 Апр '13 21:23)
Mather
Только сейчас заметил, что Ваш вопрос обозначен меткой (тэгом) "Неравенство". Полагаю, что такая метка является неподходящей. Более уместным здесь было бы использование меток "Математический анализ", "Частные производные", "Домашнее задание" либо их сочетаний.
(24 Апр '13 21:41)
Mather
|
@Светлана7! Ну сколько говорить про формулы! К тому же, вы приняли только половину ответов.
Пользуетесь форумом как бесплатным репетитором - так хоть проявляйте уважение к участникам!