Требуется доказать, что если квадрат разбит на две части, то хотя бы одна из них имеет мощность континуум

задан 16 Окт '18 23:03

изменен 16 Окт '18 23:22

Квадрат можно заменить на любое равномощное ему множество, то есть на континуум, и тот же вопрос задавать про разбиение континуума на две части. Но для квадрата доказывать удобнее. Его можно разбить на параллельные отрезки. Если в каждом отрезке есть хотя бы одна точка из первой части, то этих точек не меньше, чем отрезков, то есть не меньше континуума. Если не в каждом, то имеется отрезок, целиком состоящий из точек второй части. Итого одна из частей имеет мощность не меньше континуума. Ясно, что мощность и не больше континуума, то есть равномощна ему по теореме Кантора - Бернштейна.

(16 Окт '18 23:41) falcao

А нельзя просто сослаться на то, что как бы квадрат имеет континуум, ну а если мы делим на две части, то мы мощность не уменьшаем и в одной из частей должно остаться то же самое...

(17 Окт '18 0:13) Williams Wol...

Иначе бы мы соединили два кусочка, каждый из которых имеет мощность меньшую и получили бы биекцию, а такое невозможно

(17 Окт '18 0:21) Williams Wol...

@Williams Wol...: такой способ рассуждения возможен, но он основан на утверждении, что если каждое из двух множеств имеет мощность не больше чего-то, то их объединение эту мощность не превысит. Такие факты обычно верны, но их доказательства бывают технически трудными. Вообще, здесь желательно не углубляться в теоретико-множественные "дебри".

(17 Окт '18 0:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×283
×59

задан
16 Окт '18 23:03

показан
952 раза

обновлен
17 Окт '18 0:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru