|
Требуется доказать, что если квадрат разбит на две части, то хотя бы одна из них имеет мощность континуум задан 16 Окт '18 23:03 
trambon |
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
16 Окт '18 23:03
показан
1200 раз
обновлен
17 Окт '18 0:26
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Квадрат можно заменить на любое равномощное ему множество, то есть на континуум, и тот же вопрос задавать про разбиение континуума на две части. Но для квадрата доказывать удобнее. Его можно разбить на параллельные отрезки. Если в каждом отрезке есть хотя бы одна точка из первой части, то этих точек не меньше, чем отрезков, то есть не меньше континуума. Если не в каждом, то имеется отрезок, целиком состоящий из точек второй части. Итого одна из частей имеет мощность не меньше континуума. Ясно, что мощность и не больше континуума, то есть равномощна ему по теореме Кантора - Бернштейна.
А нельзя просто сослаться на то, что как бы квадрат имеет континуум, ну а если мы делим на две части, то мы мощность не уменьшаем и в одной из частей должно остаться то же самое...
Иначе бы мы соединили два кусочка, каждый из которых имеет мощность меньшую и получили бы биекцию, а такое невозможно
@Williams Wol...: такой способ рассуждения возможен, но он основан на утверждении, что если каждое из двух множеств имеет мощность не больше чего-то, то их объединение эту мощность не превысит. Такие факты обычно верны, но их доказательства бывают технически трудными. Вообще, здесь желательно не углубляться в теоретико-множественные "дебри".