дискретная-математика - Как найти мощность множества биективных функций R->R?

Для начала рассмотрим множество всех отображений из R в R. Их будет R^R, что равномощно (2^N)^R ~ 2^{NxR} ~ 2^R.

Покажем теперь, что биекций R на R не меньше, чем 2^R. Отсюда будет следовать, что их по мощности именно столько, то есть 2 в степени континуум.

Рассмотрим множество X мощности континуум, состоящее из двух параллельных прямых. Пусть это будут прямые y=0 и y=1 на координатной плоскости. Загадаем произвольное подмножество A в R. По нему определим биекцию X на X таким образом: если x принадлежит A, то точки (x,0) и (x,1) множества X переставим. Если не принадлежит, то оставим обе точки на месте. При разных A, получаются разные биекции. Этим мы получаем не меньше биекций континуума на себя, чем имеется подмножеств прямой.