По деревянному бруску (прямоугольному параллелепипеду) высотой 25 и площадью основания 60 делаются последовательно два плоских параллельных наклонных среза: второй  на 2 ниже первого. После первого среза, наивысшая и наинизшая точки которого находятся на высоте 15 и 10, остается нижняя часть бруска, которую перед вторым срезом можно повернуть на любой угол вокруг вертикальной оси, проходящей через центр симметрии основания бруска. Каков наименьший возможный объем верхнего кусочка, отсекаемого от этой части вторым срезом?

P.s. Решать пытался , нарисовал параллелепипед после первого среза, а дальше не могу представить на какой угол надо повернуть(не могу мысленно промоделировать это). Надеюсь кто нибудь поможет......

задан 25 Апр '13 14:30

изменен 25 Апр '13 21:13

Интересная задача, но хотелось бы уточнить некоторые детали условия. Прежде всего, правильно ли я понимаю, что первый срез может производиться разными способами? Допустим, я на боковых рёбрах делаю "засечки": две на высоте 10 и две на высоте 15. Но можно провести плоскость так, чтобы две противоположные "засечки" оставались равны 10 и 15, а две другие принимали какие-то промежуточные значения (например, 11 и 14). При таком толковании вариантов становится больше, и задача, на первый взгляд, усложняется. Минимизация будет происходить уже не только относительно угла поворота и формы основания.

(25 Апр '13 15:52) falcao

В сечении параллелограмма и есть связь между 10,15,11,14. $%(a+c)/2=(b+d)/2$%

(25 Апр '13 16:05) ASailyan

falcao, вряд ли

(25 Апр '13 16:21) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: всё-таки какой из двух описанных мной вариантов задачи Вы считаете более подходящим? Тот, где две точки на высоте 10 и две на высоте 15, или более общий?

(25 Апр '13 18:40) falcao

тот где две точки на высоте 10 и две на высоте 15

(25 Апр '13 18:47) SenjuHashirama

На этот счёт есть кое-какие идеи; попробую сегодня вечером исследовать.

(25 Апр '13 19:25) falcao

Не поняимаю, какое значение имеет ,нижняя часть повернут вокруг оси симетрии параллелепипеда или нет ? От этого параллельное сечение не изменится.

(25 Апр '13 21:51) ASailyan

ASailyan, у меня тоже такая мысль , но это надо обосновать математически

(25 Апр '13 21:59) SenjuHashirama
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

$%MNPK-$% первый срез; $%M_1N_1P_1K_1-$% положение плоскости второго среза. Понятно, что параллелепипед $%ABCDA_1B_1C_1D_1$% можно разбить на $%20$% параллелепипедов $%MNPKM_1N_1P_1K_1$% и двух частей (верхней и нижней), из которых можно составить прямоугольный параллелепипед с тем же основанием, что и исходный и высотой $%5$%. Следовательно объем параллелепипеда $%MNPKM_1N_1P_1K_1$% равен $%\frac{60\cdot25-60\cdot5}{10}=120.$% Следует заметить, что вращение фигуры, находящейся под первой плоскостью среза, при неизменном положении этой плоскости, приводит к отрезанию от этой фигуры какой-то части (обрезания отсутствует при угле поворота $%0^o$%). Если же плоскость среза сместить вниз на $%2$%, то при угле поворота $%0^O$% срезается фигура $%MNPKM_1N_1P_1K_1$% с объемом $%120$%, в противном случае ( угол поворота отличен от $%0^o$%) объем срезаемой фигуры будет больше.

ссылка

отвечен 26 Апр '13 18:20

Ну, у меня такая же идея, только рисунок не такой навороченный!
А зачем так сложно находить объем минимального параллелепипеда?
Правда, для такого случая нет школьной формулы, но, зная интегралы, можно объяснить ответ очень просто.

(26 Апр '13 18:24) DocentI

Интегралов я не знаю.

(26 Апр '13 18:25) Anatoliy

Да, здесь такого соображения вполне достаточно, то есть сложных подсчётов можно вообще не проводить.

(26 Апр '13 18:27) falcao

А, ну, бывает ... ;-) ТС так и не появляется, и не говорит, что знает ОН.

(26 Апр '13 18:27) DocentI

@DocentI: я отвечу здесь, потому что выше уже нет возможности поместить комментарий. Рассмотрим сечение как на Вашем рисунке. Оно должно быть симметрично относительно оси. Там проведены линии на высоте 10 и 15, образующие "бантик" из двух треугольников с основанием 5. Он симметричен. Потом от него мы отрезаем слой, спускаясь на 2 вниз. Это даёт треугольник с основанием 7. Его площадь в $%(7/5)^2$% раз больше того, что было. Отсюда возникает число $%49$%, которое потом превращается в $%147$%. А у Вас почему-то рисунок не симметричен, то есть слева нет расстояния 5, а есть лишь 3. Почему так?

(27 Апр '13 0:26) falcao

Почему рисунок должен быть симметричен? Мы ведь вращаем нижний срез (нижнюю плоскость П). Симметричны только треугольники с "основанием" (вертикальным), равным 3. "Правый" из них прибавляется к минимальному (черному) параллелограмму (сечению П). А левый - вычитается. Но не весь. Без меленького треугольничка. После сокращения равных частей получается, что в П прибавляется эта маленькая часть.

(27 Апр '13 2:04) DocentI

@DocentI: я пока что Вас не понимаю. Давайте введём обозначения. Пусть имеется прямоугольное сечение. На его левой стороне отметим точки $%A$%, $%B$% на высоте 10 и 15 соответственно. На правой -- точки $%C$%, $%D$% на такой же высоте. Первый разрез -- это $%AD$%. Потом верхушку фигуры убираем, фигуру разворачиваем на 180 градусов. Линия $%AD$% переходит в $%CB$%. Получается симметричный рисунок. Теперь делаем второй срез по линии $%A'D'$%, получаемой сдвигом $%AD$% на 2 вниз. Она отсекает от повёрнутой фигуры треугольник $%A'BK$%, где $%K=BC\cap A'D'$% с основанием 7. Что здесь не так?

(27 Апр '13 19:26) falcao

@DocentI: я понял: у Вас нижний срез вращается не относительно центра: та точка, в которой "стыкуются" Ваши треугольник под номерами 2 и 3, не лежит на оси поворота. А она должна на нём лежать. На оси поворота лежит точка, близка к цифре 1 на Вашем рисунке.

(27 Апр '13 19:30) falcao

Почему? Ось проходит вертикально, на равном расстоянии от левой и правой сторон.

(27 Апр '13 22:08) DocentI
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
2

Нельзя ли здесь использовать соображения симметрии (осевой)? Сначала проведем второй разрез, не вращая исходный "кирпич". Он отрежет параллелепипед П (показан черным цветом).
alt text
Потом повернем нижнюю плоскость. Эти две плоскости пересекутся по прямой, пересекающейся с осью параллелепипеда. Они образуют внутри параллелепипеда две равные фигуры Ф и Ф' (бордовый цвет), получающиеся друг из друга поворотом на 180о относительно вертикальной оси.

Одна из этих частей прибавляется к П, а другая - отрезается от него. Вернее, отрезается общая часть П и Ф.

Если эта общая часть целиком лежит в П, то объем новой фигуры в точности равен объему П, т.е. $%2\cdot 60 =120$%.

Меньший объем можно получить, только если "повернутая" плоскость пересекает не только нижнюю, но и верхнюю грани П. Для наибольшего эффекта, видимо, надо развернуть нижнюю плоскость на 180о. (это чисто интуитивное мнение, не доказывала)

Если рассуждение верно, найти искомый объем модно по рисунку, изображающему еонструкцию "сбоку":
alt text

Ответ. 125 см2

ссылка

отвечен 25 Апр '13 21:51

изменен 25 Апр '13 22:15

@DocentI: А почему 125, если без вращения получается 120, то есть меньше? Я пока до конца ещё не проверил, но вроде бы получается, что если вращать, то объём будет больше 120.

(25 Апр '13 23:44) falcao

А, да, я наибольший искала! Наименьший из тех же соображений 120.

(26 Апр '13 0:02) DocentI

@DocentI: я сейчас проверил -- там у меня не 216, а 147 получается. Подсчёт я покажу, но завтра, потому что хочу ещё раз проверить. Хочу также получить полное доказательство того, что 120 -- наименьшее число. Сегодня я уже исчерпал свои ресурсы, а завтра на свежую голову постараюсь всё оформить.

(26 Апр '13 4:06) falcao

@DocentI: я использовал следующий подход. Записывается уравнение плоскости первого среза, а также уравнение плоскости второго среза, повёрнутой на заданный угол. Далее я вычислял объём той части фигуры, которая заключена между этим плоскостями. Вычисления там довольно трудоёмкие, но так или иначе осуществимые. По ходу проверки того, что у меня получилось, я обнаружил, что там надо учитывать слишком много неравенств. Судя по всему, там лучше вычислять объём не отрезаемой, а оставшейся фигуры. Пока я не смог довести вычисления до конца, но постараюсь это сделать.

(26 Апр '13 15:54) falcao

Максимальный объем хорошо находится, если первый срез параллелен какому-нибудь ребру. Для минимального объема это ограничение несущественно.

(26 Апр '13 18:25) DocentI

@DocentI: рассуждение @Anatoliy показывает, что для нахождения минимума сложные подсчёты вообще не требуются. Что касается предполагаемого максимума, при развороте на 180 градусов, то там всё-таки получается 147. Это можно проверить в том числе при помощи Вашего рисунка.

(26 Апр '13 18:30) falcao

@falcao, на моем рисунке объем пропорционален площади (глубина рисунка везде постоянна). Искомый объем соответствует площади большого треугольника (справа) с основанием 5 и высотой, составляющей 5/6 от ширины d фигуры. Тогда его площадь составляет $%(5\cdot{5d\over6})/2={25d/12}$%. Объему параллелепипеда П соответствует площадь $%2\cdot d$%. Значит, максимум составляет от минимума 25/24. Так что 147 у меня не получается.
Можно также подсчитать площадь маленького треугольничка, она не входит в $%П\cap Ф$%, значит. ее надо прибавитть

(27 Апр '13 0:02) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вчера, когда я прочитал рассуждение @Anatoliy, мне показалось, что оно доказывает требуемый факт. Однако позже я несколько засомневался, и после перечитывания мне так уже не кажется. Хотелось бы разобраться: тут я либо что-то недопонял, либо рассуждение является недостаточным.

Можно согласиться с тем, что в результате вращения нижней фигуры, плоскость первого среза будет от этой фигуры что-то отрезать. Но далее, когда мы плоскость среза начинаем опускать, отрезаемые объёмы не соответствуют друг другу. Если $%\Delta h$% -- какая-то маленькая высота, то при отрезании слоя этой высоты объём уменьшится на величину $%S\Delta h$%, где $%S$% -- площадь соприкосновения "резца" и фигуры. Однако эта площадь будет разной для исходной и для повёрнутой фигур. И срезаться у повёрнутой фигуры в результате будет не 120 единиц объёма, а меньше. Это легко можно проследить на примере фигуры, повёрнутой на 180 градусов, где первоначально у фигуры срезается значительный объём, но далее начинает срезаться меньший объём по сравнению с исходной фигурой.

Поэтому здесь надо сравнивать, что больше влияет на результат: объём того, что было срезано в начале, или разница отрезаемых объёмов в дальнейшем.

Хотелось бы узнать, что думают по этому поводу уважаемые коллеги.

ссылка

отвечен 27 Апр '13 20:05

Первая мысль. Лично я вращала не верхний, а нижний срез. В первоначальном положении (параллельно верхнему) получаем параллелепипед. Потом начинаем вращать остаток, что равносильно вращению в обратную сторону нижней плоскости. При этом к исходному параллелепипеду П прибавляется некая часть и такая же отрезается (но не вся, только то, что попадает в П). Это и изображено на картинках. Вторая - вид сбоку. Основной (исходный) параллелепипед не показан.

(27 Апр '13 21:56) DocentI

@DocentI: я говорю о той картинке, которая "вид сбоку". Вращать можно что угодно, и пусть это будет нижний срез. Но его надо вращать относительно оси, проходящей через центр основания. У Вас эта ось находится посередине рисунка, но он содержит не весь срез. Ведь высота точек должна меняться от 15 до 10. А у Вас крайняя справа точка спускается вниз при движении влево всего на 3. Проверьте, пожалуйста!

(27 Апр '13 22:10) falcao

Тьфу, наконец-то поняла! Вместо 3, 2 и 1 должно быть 5, 2 и 3.
А вообще-то хватит. Нас просили найти минимум - ну, мы его нашли.

(27 Апр '13 22:23) DocentI

Я считаю, что ответ 120, скорее всего, верен, но то рассуждение, которое здесь привёл @Anatoliy, пока ещё не является доказательством. См. мои замечания выше.

(27 Апр '13 22:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×509

задан
25 Апр '13 14:30

показан
1929 раз

обновлен
27 Апр '13 22:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru