Интересует алгоритм поиска уравнения гиперплоскости po + <a1,a2,..,an> в R^n, при известных координатах точки po и векторов a1,a2,..,an.

задан 19 Окт '18 20:42

а векторов не многовато?... или там про линейную оболочку спрашивается?...

если так, то находите ранг матрицы из векторов, попутно определяя базис ... а затем пишите параметрическое уравнение линейного многообразия...

(19 Окт '18 20:58) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

По идее, гиперплоскость в $%\mathbb R^n$% должна задаваться линейной оболочкой $%n-1$% вектора из линейно независимой системы. Скажем, в $%\mathbb R^3$% плоскость задаётся двумя "стрелочками", которые "отложены" от фиксированной точки $%p_0$%.

Конечно, в задании может быть дана и система из $%n$% векторов, но она при этом должна быть линейно зависимой и иметь ранг $%n-1$%. Тогда в ней надо будет найти базу из $%n-1$% вектора.

Один из общих способов таков: уравнение гиперплоскости ищем в виде $%A_1(x_1-c_1)+\cdots+A_n(x_n-c_n)=0$%, где $%(c_1,\ldots,c_n)$% -- координаты начальной точки $%p_0$%, а коэффициенты $%A_1$%, ... , $%A_n$% надо найти. В этом случае подставляем в уравнение коэффициенты каждого из векторов, образующих линейную оболочку, вместо $%x_i-c_i$%, получая однородную систему уравнений. Потом её решаем (например, методом Гаусса), и должна получиться одна свободная неизвестная, через которую выражаются коэффициенты с точностью до пропорциональности.

Но, если уже изучена тема "определители", то есть готовая формула. Для трёхмерного пространства она фактически опирается на понятие векторного произведения, которое имеет аналог для пространства любой размерности. Только в $%n$%-мерном пространстве надо брать произведение $%n-1$% вектора. В этом случае уравнение выписывается сразу, и остаётся только посчитать определители.

Проиллюстрирую на примере $%n=4$%. Пусть даны векторы $%p_0=(1,2,3,4)$% (координаты начальной точки), и три вектора, образующих линейно независимую систему. Скажем, $%a_1=(1,-3,2,5)$%, $%a_2=(3,1,-1,0)$%, $%a_3=(4,-3,1,1)$% (координаты я взял наугад). Тогда уравнение гиперплоскости $%p_0+\langle a_1,a_2,a_3\rangle$% записывается в виде $$\begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 & 5 \\ 3 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & -3 & 1 & 1 \\ x_1-1 & x_2-2 & x_3-3 & x_4-4 \end{vmatrix}=0. $$ После раскрытия определителя имеем $%9x_1+28x_2+55x_3-7x_4=202$%.

ссылка

отвечен 19 Окт '18 23:00

Большое спасибо!

(19 Окт '18 23:05) EstoneCold

@falcao Если пространство будет аффинным, то это ни на что не повлияет?

(19 Окт '18 23:10) EstoneCold

@EstoneCold: это учтено фактическим переносом начала координат в p0 (в уравнении её координаты вычли). Надо иметь в виду, что аффинное пространство -- это не какой-то специальный объект, а обычное линейное пространство, в котором нет фиксированной системы координат. Её можно строить заново, выбирая "репер" (то есть систему базисных векторов, отложенных от заданного где угодно начала выбираемой системы координат). Здесь ведь речь идёт об R^n, а оно и линейное, и аффинное. Разница только в представлении, что аффинное пространство состоит из точек (как в геометрии), а векторы на нём действуют.

(19 Окт '18 23:26) falcao

@falcao Не могли бы вы пояснить чуть подробнее откуда берется формула с определителем?

(20 Окт '18 16:27) EstoneCold

@EstoneCold: она известна, и наверняка есть в каких-то учебниках. Но её легко доказать. Если у определителя равны строки, то он равен нулю. Тогда, если строки кроме последней -- это векторы a(1),...,a(n-1) линейно независимой системы, то они удовлетворяют уравнению относительно x(1),...,x(n). То же касается их линейных комбинаций. Остаётся заметить, что уравнение не имеет вида 0=0, так как у матрицы есть ненулевой минор порядка n-1, то есть коэффициенты не все нулевые. Тогда размерность пространства решений равна n-1, и это даёт нужную гиперплоскость.

(20 Окт '18 16:32) falcao

@falcao Благодарю

(20 Окт '18 16:33) EstoneCold

@EstoneCold посчитав определитель у меня вышло совсем другое уравнение: 5x1-40x2-23x3-3x4+168=0, пересчитал два раза, есть какой-то простой способ посчитать этот определитель 4х4?

(20 Окт '18 21:34) EstoneCold

@EstoneCold: способов нахождения определителя довольно много. Но все они известны. Я не знаю, каким методом Вы действовали, но ответ получился неправильный. Почему такой коэффициент при x1? С точностью до знака, это должен быть минор со строками (-3 2 5 // 1 -1 0 // -3 1 1 ). И там 9 получается.

(20 Окт '18 22:57) falcao

@falcao я раскладывал по 1 строке и 1 столбцу на 4 определителя 3х3. первый определитель (1 -1 0 // -3 1 1 // x2-2 x3-3 x4-4) получился 4x4-x3+x2-15 второй определитель -3(3 -1 0 // 4 1 1 // x1-1 x3-3 x4-4) получился -x4-3x3+x1+12 третий определитель 2(3 1 0 // 4 -3 1 // x1-2 x2-2 x4-4) получился -x4-3x3+x1+12 четвертый определитель 5(3 1 -1 // 4 -3 1 // x1-1 x2-2 x3-3) получился -5x4-3x2-x1+27 после приведения подобных вышло то, что я написал выше

(21 Окт '18 15:01) EstoneCold

@EstoneCold: рекомендую разложить по 4-й строке и сверить. Там все миноры станут числовыми. Вы выбрали сложный способ, и где-то, скорее всего, допустили ошибки.

(21 Окт '18 15:05) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,657
×776
×84

задан
19 Окт '18 20:42

показан
111 раз

обновлен
21 Окт '18 15:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru