Рассмотрим кольцо $%R$% непрерывных функций на $%\mathbb R$% и идеал $%M_x=\{f\in R:f(x)=0\}$%.

(i) Пусть $%I$% - множество функций в $%R$% с компактным носителем ($%f(t)=0$% при достаточно большом $%|t|$%). Доказать, что $%I$% - идеал, который не прост.

(ii) Пусть $%M$% - максимальный идеал, который содержит $%I$%. Доказать, что $%M\ne M_x$% для всех $%x\in \mathbb R$%

задан 20 Окт 6:27

Первый пункт совсем простой. Рассмотрим функцию g(x), которая равна 0 на минус бесконечности. Скажем, g(x)=0 при x<=0, g(x)=x при x>=0. Она не принадлежит идеалу I. То же для g(1-x). Но произведение g(x)g(1-x) уже имеет компактный носитель.

Со вторым пунктом, скорее всего, что-то не так: M_x не содержит I, что очевидно, поэтому не совпадает с M. Вряд ли такое могли попросить доказать.

(20 Окт 12:35) falcao

@Slater: видимо, всё правильно, хотя задание выглядит нелепо. Возможно, такой факт дальше зачем-то понадобится, но просят доказать, что нет такой "волшебной" точки c, в которой обращается в ноль любая функция с компактным носителем. У меня такие вещи вызывают ощущение нелепости.

(20 Окт 17:55) falcao

Получается, носитель у произведения g(x)g(1-x) равен [0,1]?

А для доказательства "идеальности": если f(x)=0 при |x|>M_f, g(x)=0 при |x|>M_g, то (f+g)(x)=0 при |x| > max(M_f,M_g), а также (cf)(x)=0 при всё том же |x|>M_f?

Насчет второго пункта, я не знаю, почему Вы считаете такую точку "волшебной", а задание нелепым. Утверждение об отсутствии точки с, в которой обращается в ноль любая функция с компактным носителем, разве является очевидным?

(20 Окт 21:27) Slater

@Slater: функция g(x)g(1-x) не равна нулю на (0,1), то есть с ней всё ясно. То, что сумма функций равна нулю "достаточно далеко", очевидно. То есть проверка "идеальности" тривиальна.

Функции с компактным носителем можно сдвигать вдоль оси. Если бы подходила точка c, то подходила бы любая другая. То есть утверждение примерно столь же очевидно, как и утверждение о том, что для любой точки можно придумать функцию, которая в этой точке не обращается в ноль :)

(21 Окт 0:32) falcao

То есть полное доказательство такое?

Пусть M=M_c для некоторого с. Т.к. I <= M, любая непрерывная функция с компактным носителем лежит в M_c, т.е. обращается в нуль в с. Пусть f - такая функция, f(c)=0. Пусть а - любая точка. Функция g(t)=f(x-c+a) имеет компактный носитель, поэтому g(c)=0. Но g(c)=f(a)=0. Значит, f тождественно нулевая. Тогда I - тривиальный идеал, противоречие. Так?

(21 Окт 0:55) Slater

@Slater: у меня всё-таки не укладывается в голове, как можно всерьёз решать такие задания, а также предлагать их :)

(21 Окт 1:40) falcao

Я не понимаю, что в них не так... Задание как задание. Для Вас может они очевидны (и Вашего наброска достаточно), но для других нет, и надо "разворачивать" наброски в доказательства...

По самой задаче, правильно же, что доказательством от противного приходим к противоречию, что I тривиальный? Я ошибок у себя не вижу, но такое противоречие выглядит странновато.

(21 Окт 2:31) Slater

@Slater: дело не во мне. Есть объективно очевидные вещи. Типа существования функции, которая в заданной точке не равна нулю. Ограничение в виде условия компактности носителя мало что меняет: ясно, что слева и справа можно сделать функцию нулевой, а "посередине" она будет какой угодно. И её можно нарисовать так, что точка c будет лежать именно там. Можно явную формулу задать: f(c)=1, f(x)=x-(c-1) при x из [c-1,c]; f(x)=(c+1)-x при x из [c,c+1]. Вне [c-1,c+1] функция равна нулю. Конечно, аргумент со сдвигом тоже работает, и из явной нелепости следует противоречие. Ничего удивительного тут нет.

(21 Окт 2:44) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,827

задан
20 Окт 6:27

показан
50 раз

обновлен
21 Окт 2:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru